Question

如圖，△ABC中，∠CAB與∠CBA均為銳角，分別以CA、CB為邊向△ABC外側(cè)作正方形CADE和正方形CBFG，再作DD₁⊥直線AB于D₁，F(xiàn)F₁⊥直線AB于F₁．
求證：（Ⅰ）DD₁+FF₁=AB；
（Ⅱ）線段AB的中點N也平分線段D₁F₁．

Answer 1

分析：（1）過點C作CH⊥AB，垂足為H；再通過兩對全等三角形來證明DD₁+EE₁=AB即可；
（3）利用“梯形的中位線長等于兩底和的一半”，設(shè)M為DE的中點，Q為D₁E₁的中點，MQ=

1

2

AB且MQ⊥AB，特殊地，當(dāng)四邊形DD₁E₁E為矩形時，以上結(jié)論仍然成立．又因為可證明D₁A=E₁B，所以AB的中點N就是D₁E₁的中點．

解答：證明：（1）過點C作CK⊥AB于K，
∵DD₁⊥AB、EE₁⊥AB，
∴∠DD₁A=∠EE₁B=∠AKC=∠BKC=90°，
∴∠DAD₁+∠CAB=∠CAE+∠ACK=∠CBK+∠BCK=∠CBK+∠EBE_1⁼90°，
∴∠DAD₁=∠ACK，∠EBE₁=∠BCK，
∵AD=AC，BC=BE，
∴△ADD₁≌△CAK，△EBE₁≌△BCK，
∴DD₁=AK，EE₁=BK，
∴DD₁+EE₁=AB；

（2）設(shè)M為DF的中點，Q為D₁F₁的中點，
則：MQ=

1

2

(DD1+EE1)=

1

2

AB且MQ⊥AB，
當(dāng)四邊形DD₁E₁E為矩形時，以上結(jié)論仍然成立．
∴△ADD₁≌△CAK，△EBE₁≌△BCK，
又∵D₁A=CK=E₁B，
∴AB的中點N就是D₁E₁的中點．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，以及梯形中位線的性質(zhì)等知識．此題綜合性很強，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．