【題目】拋物線與x軸交于A,B兩點(OA<OB),與y軸交于點C.
(1)求點A,B,C的坐標;
(2)點P從點O出發(fā),以每秒2個單位長度的速度向點B運動,同時點E也從點O出發(fā),以每秒1個單位長度的速度向點C運動,設點P的運動時間為t秒(0<t<2).
①過點E作x軸的平行線,與BC相交于點D(如圖所示),當t為何值時,的值最小,求出這個最小值并寫出此時點E,P的坐標;
②在滿足①的條件下,拋物線的對稱軸上是否存在點F,使△EFP為直角三角形?若存在,請直接寫出點F的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)A(2,0),B(4,0),C(0,2);(2)①t=1時,有最小值1,此時OP=2,OE=1,∴E(0,1),P(2,0);②F(3,2),(3,7).
【解析】
試題(1)在拋物線的解析式中,令y=0,令x=0,解方程即可得到結果;
(2)①由題意得:OP=2t,OE=t,通過△CDE∽△CBO得到,即
,求得
有最小值1,即可求得結果;
②存在,求得拋物線的對稱方程為x=3,設F(3,m),當△EFP為直角三角形時,①當∠EPF=90°時,②當∠EFP=90°時,③當∠PEF=90°時,根據勾股定理列方程即可求得結果.
試題解析:(1)在拋物線的解析式中,令y=0,即,解得:
,
,∵OA<OB,∴A(2,0),B(4,0),在拋物線的解析式中,令x=0,得y=2,∴C(0,2);
(2)①由題意得:OP=2t,OE=t,∵DE∥OB,∴△CDE∽△CBO,∴,即
,∴DE=4﹣2t,
∴=
=
=
,∵0<t<2,
始終為正數,且t=1時,
有最大值1,∴t=1時,
有最小值1,即t=1時,
有最小值1,此時OP=2,OE=1,∴E(0,1),P(2,0);
②存在,∵拋物線的對稱軸方程為x=3,設F(3,m),∴
,
=
,
=
,
當△EFP為直角三角形時,
①當∠EPF=90°時,,即
,解得:m=2,
②當∠EFP=90°時,,即
,解得;m=0或m=1,不合題意舍去,∴當∠EFP=90°時,這種情況不存在,
③當∠PEF=90°時,,即
,解得:m=7,
綜上所述,F(3,2),(3,7).
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【題目】為改善生態(tài)環(huán)境,防止水土流失,某村計劃在江漢堤坡種植白楊樹,現甲、乙兩家林場有相同的白楊樹苗可供選擇,其具體銷售方案如下:
甲林場 | 乙林場 | ||
購樹苗數量 | 銷售單價 | 購樹苗數量 | 銷售單價 |
不超過1000棵時 | 4元/棵 | 不超過2000棵時 | 4元/棵 |
超過1000棵的部分 | 3.8元/棵 | 超過2000棵的部分 | 3.6元/棵 |
設購買白楊樹苗x棵,到兩家林場購買所需費用分別為y甲(元)、y乙(元).
(1)該村需要購買1500棵白楊樹苗,若都在甲林場購買所需費用為 元,若都在乙林場購買所需費用為 元;
(2)分別求出y甲、y乙與x之間的函數關系式;
(3)如果你是該村的負責人,應該選擇到哪家林場購買樹苗合算,為什么?
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分別為AC,CD的中點,連接BM,MN,BN.∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,BN的長為_____.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,過點B作BD⊥AB,點C,D都在AB上方,AD交△BCD的外接圓⊙O于點E.
(1)求證:∠CAB=∠AEC.
(2)若BC=3.
①EC∥BD,求AE的長.
②若△BDC為直角三角形,求所有滿足條件的BD的長.
(3)若BC=EC= ,則
= .(直接寫出結果即可)
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AC平分∠BAD,∠ABC=90°,AC=AD=2,M、N分別為AC、CD的中點,連接BM、MN、BN.
(1)求證:BM=MA;
(2)若∠BAD=60°,求BN的長;
(3)當∠BAD= °時,BN=1.(直接填空)
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【題目】超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因之一.上周末,小明和三位同學嘗試用自己所學的知識檢測車速.如圖,觀測點設在A處,離益陽大道的距離(AC)為30米.這時,一輛小轎車由西向東勻速行駛,測得此車從B處行駛到C處所用的時間為8秒,∠BAC=75°.
(1)求B、C兩點的距離;
(2)請判斷此車是否超過了益陽大道60千米/小時的限制速度?
(計算時距離精確到1米,參考數據:sin75°≈0.9659,cos75°≈0.2588,tan75°≈3.732,,60千米/小時≈16.7米/秒)
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【題目】為了提高學生的身體素質,某班級決定開展球類活動,要求每個學生必須在籃球、足球、排球、乒乓球、羽毛球中選擇一項參加訓練(只選擇一項),根據學生的報名情況制成如下統(tǒng)計表:
項目 | 籃球 | 足球 | 排球 | 乒乓球 | 羽毛球 |
報名人數 | 12 | 8 | 4 | a | 10 |
占總人數的百分比 | 24% | b |
(1)該班學生的總人數為 人;
(2)由表中的數據可知:a= ,b= ;
(3)報名參加排球訓練的四個人為兩男(分別記為A、B)兩女(分別記為C、D),現要隨機在這4人中選2人參加學校組織的校級訓練,請用列表或樹狀圖的方法求出剛好選中一男一女的概率.
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【題目】已知二次函數y=ax2+bx﹣3a經過點A(﹣1,0)、C(0,3),與x軸交于另一點B,拋物線的頂點為D.
(1)求此二次函數解析式;
(2)連接DC、BC、DB,求證:△BCD是直角三角形;
(3)在對稱軸右側的拋物線上是否存在點P,使得△PDC為等腰三角形?若存在,求出符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】為了了解全校3000名學生對學校設置的足球、籃球、乒乓球、羽毛球、排球共五項球類活動的喜愛情況,在全校范圍內隨機調查了m名學生(每名學生必選且只能選擇這五項活動中的一種)進行了問卷調查,將統(tǒng)計數據繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請根據統(tǒng)計圖提供的信息,解答下列問題:
(1)m= ,n= .并補全圖中的條形統(tǒng)計圖.
(2)請你估計該校約有多少名學生喜愛打乒乓球.
(3)在抽查的m名學生中,有A、B、C、D等10名學生喜歡羽毛球活動,學校打算從A、B、C、D這4名女生中,選取2名參加全市中學生女子羽毛球比賽,請用列表法或畫樹狀圖法,求同時選中B、C的概率.
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