Question

（2012•崇左）如圖所示，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)A（-2，3），且拋物線y=ax²+bx+c與y軸交于點(diǎn)B（0，2）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）是否在x軸上存在點(diǎn)P使△PAB為等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）若點(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn)，則當(dāng)PA-PB最大時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）通過讀題可以看出拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)A（-2，3），且經(jīng)過B點(diǎn)，所以直接將拋物線的解析式設(shè)為頂點(diǎn)式，然后代入B點(diǎn)的坐標(biāo)求解即可．
（2）首先設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)系兩點(diǎn)間的距離公式分別求出PA、PB、AB的長度（或表達(dá)式），然后分PA=PB、PA=AB、PB=AB三種情況列方程求解即可．
（3）當(dāng)P、A、B三點(diǎn)不共線時，PA-PB＜AB（三角形三邊關(guān)系定理），三點(diǎn)共線時，PA-PB=AB，綜合來看：PA-PB≤AB，所以當(dāng)PA-PB的值最大時，P、A、B三點(diǎn)共線，因此只需求出直線AB的解析式，該直線與x軸的交點(diǎn)即為符合條件的P點(diǎn)．

解答：解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（-2，3），∴可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）²+3．
由題意得：a（0+2）²+3=2，解得：a=-

1

4

．
∴物線的解析式為y=-

1

4

（x+2）²+3，即y=-

1

4

x²-x+2．

（2）設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（p，0），則
PA²=（-2-p）²+3²，PB²=p²+2²，AB²=（3-2）²+2²=5
當(dāng)PA=PB時，（-2-p）²+3²=p²+2²，解得：p=-

9

4

；
當(dāng)PA=AB時，（-2-p）²+3²=5，方程無實數(shù)解；
當(dāng)PB=AB時，p²+2²=5，解得p=±1．
∴x軸上存在符合條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（-

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4

，0）或（-1，0）或（1，0）．

（3）∵PA-PB≤AB，
∴當(dāng)A、B、P三點(diǎn)共線時，可得PA-PB的最大值，這個最大值等于AB，此時點(diǎn)P是直線AB與x軸的交點(diǎn)．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則：

b=2          -2k+b=3

，解得

k=- 1 2 b=2

．
∴直線AB的解析式為y=-

1

2

x+2，
當(dāng)y=-

1

2

x+2=0時，解得x=4．
∴當(dāng)PA-PB最大時，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（4，0）．

點(diǎn)評：此題主要考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、等腰三角形的判定、三角形三邊關(guān)系定理等重要知識；（2）題應(yīng)注意等腰三角形的腰和底沒有明確告知，所以要分情況進(jìn)行討論；最后一題中，找出PA-PB值最大時點(diǎn)P的位置是解決問題的關(guān)鍵．