Question

如圖，在數(shù)軸上A點(diǎn)表示數(shù)a，B點(diǎn)表示數(shù)b，AB表示A點(diǎn)和B點(diǎn)之間的距離，且a、b滿足|a+2|+（b+3a）²=0
（1）求A、B兩點(diǎn)之間的距離；
（2）若在數(shù)軸上存在一點(diǎn)C，且AC=2BC，求C點(diǎn)表示的數(shù)；
（3）若在原點(diǎn)O處放一擋板，一小球甲從點(diǎn)A處以1個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)；同時(shí)另一小球乙從點(diǎn)B處以2個(gè)單位/秒的速度也向左運(yùn)動(dòng)，在碰到擋板后（忽略球的大小，可看作一點(diǎn)）以原來的速度向相反的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒），
①分別表示甲、乙兩小球到原點(diǎn)的距離（用t表示）；
②求甲、乙兩小球到原點(diǎn)的距離相等時(shí)經(jīng)歷的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求得A、B兩點(diǎn)之間的距離；
（2）分C點(diǎn)在線段AB上和線段AB的延長(zhǎng)線上兩種情況討論即可求解；
（3）①甲球到原點(diǎn)的距離=甲球運(yùn)動(dòng)的路程+OA的長(zhǎng)，乙球到原點(diǎn)的距離分兩種情況：（Ⅰ）當(dāng)0＜t≤3時(shí)，乙球從點(diǎn)B處開始向左運(yùn)動(dòng)，一直到原點(diǎn)O，此時(shí)OB的長(zhǎng)度-乙球運(yùn)動(dòng)的路程即為乙球到原點(diǎn)的距離；（Ⅱ）當(dāng)t＞3時(shí)，乙球從原點(diǎn)O處開始向右運(yùn)動(dòng)，此時(shí)乙球運(yùn)動(dòng)的路程-OB的長(zhǎng)度即為乙球到原點(diǎn)的距離；
②分兩種情況：（Ⅰ）0＜t≤3，（Ⅱ）t＞3，根據(jù)甲、乙兩小球到原點(diǎn)的距離相等列出關(guān)于t的方程，解方程即可．

解答：解：（1）∵|a+2|+（b+3a）²=0，
a+2=0，b+3a=0，
∴a=-2，b=6；
∴AB的距離=|b-a|=8；

（2）設(shè)數(shù)軸上點(diǎn)C表示的數(shù)為c．
∵AC=2BC，
∴|c-a|=2|c-b|，即|c+2|=2|c-6|．
∵AC=2BC＞BC，
∴點(diǎn)C不可能在BA的延長(zhǎng)線上，則C點(diǎn)可能在線段AB上和線段AB的延長(zhǎng)線上．
①當(dāng)C點(diǎn)在線段AB上時(shí)，則有-2≤c≤6，
得c+2=2（6-c），解得c=

10

3

；
②當(dāng)C點(diǎn)在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，則有c＞6，
得c+2=2（c-6），解得c=14．
故當(dāng)AC=2BC時(shí)，c=

10

3

或c=14；

（3）①∵甲球運(yùn)動(dòng)的路程為：1•t=t，OA=2，
∴甲球與原點(diǎn)的距離為：t+2；
乙球到原點(diǎn)的距離分兩種情況：
（Ⅰ）當(dāng)0＜t≤3時(shí)，乙球從點(diǎn)B處開始向左運(yùn)動(dòng)，一直到原點(diǎn)O，
∵OB=6，乙球運(yùn)動(dòng)的路程為：2•t=2t，
∴乙球到原點(diǎn)的距離為：6-2t；
（Ⅱ）當(dāng)t＞3時(shí)，乙球從原點(diǎn)O處開始一直向右運(yùn)動(dòng)，
此時(shí)乙球到原點(diǎn)的距離為：2t-6；
②當(dāng)0＜t≤3時(shí)，得t+2=6-2t，
解得t=

4

3

；
當(dāng)t＞3時(shí)，得t+2=2t-6，
解得t=8．
故當(dāng)t=

4

3

秒或t=8秒時(shí)，甲乙兩小球到原點(diǎn)的距離相等．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，方程的解法，數(shù)軸，兩點(diǎn)間的距離，有一定難度，運(yùn)用分類討論思想、方程思想及數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．