(2008•濱州)如圖(1),已知在△ABC中,AB=AC=10,AD為底邊BC上的高,且AD=6.將△ACD沿箭頭所示的方向平移,得到△A′CD′.如圖(2),A′D′交AB于E,A′C分別交AB、AD于G、F.以D′D為直徑作⊙O,設BD′的長為x,⊙O的面積為y.
(1)求y與x之間的函數(shù)關系式及自變量x的取值范圍;
(2)連接EF,求EF與⊙O相切時x的值;
(3)設四邊形ED′DF的面積為S,試求S關于x的函數(shù)表達式,并求x為何值時,S的值最大,最大值是多少?

【答案】分析:(1)本題的關鍵是求出DD′的長,已知了AB、AD的長,可在直角三角形BDA中,用勾股定理求出BD的長,根據(jù)DD′=BD-BD′即可得出DD′的表達式,有了DD′的長即圓的直徑可根據(jù)圓的面積公式得出y,x的函數(shù)關系式.
(2)EF與圓O′相切,那么D′E=D′D,根據(jù)(1)得出的DD′的表達式可表示出D′E的長,然后根據(jù)△BD′E與△BDA相似,可得出關于D′E、DA、BD′、BD的比例關系式,以此來確定x的值.
(3)在(1)、(2)中已經(jīng)得出了D′D和D′E的表達式,即可根據(jù)矩形的面積公式求出S,x的函數(shù)關系式.
解答:解:(1)∵AB=10,AD=6,∠ADB=90°
∴BD=CD=8
∴DD'=BD-BD'=8-x
∴y=π
(8-x)2(0≤x<8).

(2)∵△BD'E≌△CDF
∴ED'=DF
∵ED'∥DF,∠FDD'=90°
∴四邊形ED'DF是矩形
∴EF∥DD'
若DF與⊙O相切,則ED'=DD'
∵∠ED'B=∠AOB=90°,∠B=∠B
∴△BED'∽△BAD
,

∴ED'=

解得x=
因此,當x=時,EF與⊙O相切.

(3)S=ED'•D'D=
=-x2+6x
=-(x-4)2+12
∴x=4時,滿足0≤x<8,S的值最大,最大值是12.
點評:本題結合矩形的性質(zhì)以及三角形的相似考查了二次函數(shù)的應用,利用數(shù)形結合的思想來求解是本題的基本思路.
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