Question

試證：如果整系數(shù)二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c中至少有一個偶數(shù)．

Answer 1

考點：一元二次方程的整數(shù)根與有理根

專題：

分析：先假設a、b、c全是奇數(shù)，根據(jù)根與系數(shù)的關系，利用判別式求得x的值x=

-b± b2-4ac

2a

，可見存在有理根，即設

b2-4ac

為有理數(shù)n，假設n為偶數(shù)，與已知矛盾，從而得到n只能為偶數(shù)，進一步證得a，b，c中至少有一個是偶數(shù)．

解答：證明：假設a、b、c全為奇數(shù)△=b²-4ac≥0有：
x=

-b± b2-4ac

2a

，
可見存在有理根，即設

b2-4ac

為有理數(shù)n，
∴b²-4ac=n²，
∴（b-n）（b+n）=4ac，
∵若n為偶數(shù)，（b-n）（b+n）=奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)≠4ac，
∴n只能為奇數(shù)，b-n為偶數(shù)b+n為偶數(shù)，
∴（b-n）（b+n）=偶數(shù)×偶數(shù)=2a×2c（a≤c），
即b-n=2a，b+n=2c，
解得：b=a+c，
此時b=奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，與原假設矛盾，
∴原假設不成立．
∴如果整系數(shù)二次方程ax²+bx+c=0存在有理根，那么a、b、c至少有一個是偶數(shù)．

點評：本題考查了一元二次方程的整數(shù)根與有理根、整數(shù)的奇偶性問題，注意對于不能直接證明的問題，采用反證法往往是一種不錯的方法．