Question

已知：如圖,直線與x軸相交于點(diǎn)A,與直線相交于點(diǎn)P.動點(diǎn)E從原點(diǎn)O出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿著OPA的路線向點(diǎn)A勻速運(yùn)動（E不與點(diǎn)O,A重合）,過點(diǎn)E分別作EF⊥x軸于F,EB⊥y軸于B.設(shè)運(yùn)動t秒時,矩形EBOF與△OPA重疊部分面積為S.

（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo);

（2）請判斷△OPA的形狀并說明理由;

（3）請?zhí)骄縎與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并指出t的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）;

（2）等邊三角形;理由見解析;

（3）．

【解析】

試題分析：（1）由兩直線相交可列出方程組,求出P點(diǎn)坐標(biāo);

（2）將y=0代入,可求出OA=4,作PD⊥OA于D,則OD=2,PD=,利用tan∠POA=,可知∠POA=60°,由OP=4．可知△POA是等邊三角形;

（3）①當(dāng)0＜t≤4時,在Rt△EOF中,∠EOF=60°,OE=t,則EF=,OF=,則S=•OF•EF=;

②當(dāng)4＜t＜8時,設(shè)EB與OP相交于點(diǎn)C,易知：CE=PE=t﹣4,AE=8﹣t,可得AF=4﹣,EF=（8﹣t）,有OF=OA﹣AF=4﹣（4﹣）=,S=（CE+OF）•EF=﹣+4t﹣8．

試題解析：（1）由題意可得：,

解得,

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,）;

（2）將y=0代入y=﹣x+4,得到：﹣x+4=0,

∴x=4,即OA=4,

作PD⊥OA于D,則OD=2,PD=2,

∵tan∠POA==,

∴∠POA=60°,

∵OP=,

∴△POA是等邊三角形;

（3）①當(dāng)0＜t≤4時,如圖,在Rt△EOF中,

∵∠EOF=60°,OE=t,

∴EF=,OF=,

∴S=•OF•EF=．

②當(dāng)4＜t＜8時,如圖,設(shè)EB與OP相交于點(diǎn)C,

∵CE=PE=t﹣4,AE=8﹣t,

∴AF=4﹣,EF=（8﹣t）,

∴OF=OA﹣AF=4﹣（4﹣）=,

∴S=（CE+OF）•EF=（t﹣4+t）×（8﹣t）= ．

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題．