Question

如圖，⊙O的直徑AB是4，過B點(diǎn)的直線MN是⊙O的切線，D、C是⊙O上的兩點(diǎn)，連接AD、BD、CD和BC．
（1）求證：∠CBN=∠CDB；
（2）若DC是∠ADB的平分線，且∠DAB=15°，求DC的長．

Answer 1

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠ADC+∠CDB=90°，
∵M(jìn)N切⊙O于點(diǎn)B，
∴∠ABN=∠ABC+∠CBN=90°，
∴∠ADC+∠CDB=∠ABC+∠CBN；
∵∠ADC=∠ABC，
∴∠CBN=∠CDB；

（2）解：如圖，連接OD、OC，過點(diǎn)O作OE⊥CD于點(diǎn)E；
∵CD平分∠ADB，
∴∠ADC=∠BDC，
∴弧AC=弧BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°；
∵DC是∠ADB的平分線，
∴∠BDC=45°；
∴∠BOC=90°；
又∵∠DAB=15°，
∴∠DOB=30°，
∴∠DOC=120°
∵OD=OC，OE⊥CD，
∴∠DOE=60°
∴∠ODE=30°，
∵OD=2，
∴OE=1，DE=，
∴CD=2DE=2．
分析：（1）由AB為⊙O的直徑，得：∠ADB=90°，根據(jù)MN是⊙O的切線，可知：∠AMN=90°，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，可知：∠ADC=∠ABC，從而證得：∠CBN=∠CDB；
（2）連接OD、OC，過點(diǎn)O作OE⊥CD于點(diǎn)E，根據(jù)圓周角定理，可求得∠BOC和∠DOB的度數(shù)，故可知：∠COD的度數(shù)，在等腰△OCD中，可將CD的長求出．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓周角定理及切線的性質(zhì)．