Question

在平面直角坐標(biāo)系中（單位長度：1cm），A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別A（-2，0）、B（4，0），點(diǎn)C從A點(diǎn)開始以1cm/s的速度沿折線AOy運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)D從B點(diǎn)開始以2cm/s的速度沿折線BOy運(yùn)動．
（1）在運(yùn)動開始后的同一時(shí)刻，運(yùn)動時(shí)間取何值時(shí)一定存在以A、O、C為頂點(diǎn)的三角形和以B、O、D為頂點(diǎn)的三角形此時(shí)，以A、O、C為頂點(diǎn)的三角形和以B、O、D為頂點(diǎn)的三角形相似嗎？運(yùn)動時(shí)間取何值時(shí)，以A、O、C為頂點(diǎn)的三角形和以B、O、D為頂點(diǎn)的三角形會同時(shí)成為等腰直角三角形？請分別說明理由；
（2）請你求出當(dāng)運(yùn)動時(shí)間是4秒時(shí)經(jīng)過三點(diǎn)A、B、C的拋物線的關(guān)系式，并指出其頂點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)三角形存在的條件可知，當(dāng)A、O、C三點(diǎn)不共線，B、O、D不共線時(shí)存在以A、O、C為頂點(diǎn)的三角形和以B、O、D為頂點(diǎn)的三角形．根據(jù)A、B兩點(diǎn)及C、D，運(yùn)動的速度可計(jì)算出C、D到原點(diǎn)時(shí)的時(shí)間，當(dāng)大于此時(shí)間時(shí)它們均可構(gòu)成三角形．
②由①可知它們運(yùn)動兩秒時(shí)同時(shí)到達(dá)O點(diǎn)，當(dāng)它們再運(yùn)動t秒時(shí)可分別計(jì)算出OC、OD的長度，根據(jù)其對應(yīng)邊的比可判斷出兩三角形是否相似．
③當(dāng)OA=OC、OB=OD時(shí)兩三角形均為等腰直角三角形，可設(shè)出運(yùn)動的時(shí)間，根據(jù)兩點(diǎn)運(yùn)動的速度與OA、OB的長度求出時(shí)間．
（2）當(dāng)運(yùn)動時(shí)間是4秒時(shí)根據(jù)C點(diǎn)的運(yùn)動速度可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求出過此三點(diǎn)拋物線的解析式．根據(jù)其解析式即可求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）①當(dāng)時(shí)間大于2s時(shí)，以A、O、C為頂點(diǎn)的三角形和以B、O、D為頂點(diǎn)的三角形都存在．（2分）
②△AOC∽△BOD，當(dāng)時(shí)間大于2s時(shí)，△AOC與△BOD相似．（3分）
設(shè)時(shí)間為x（x＞2）時(shí)，此時(shí)AO=2（cm），CO=x-2（cm），BO=4（cm），DO=2x-4（cm）．
∵

AO

CO

=

2

x-2

，

BO

DO

=

4

2x-4

=

2

x-2

，
而∠AOC=∠BOD=90°，
∴△AOC∽△BOD．（6分）
③當(dāng)x=4時(shí)，△AOC與△BOD會同時(shí)成為等腰直角三角形．
設(shè)時(shí)間x（x＞2）時(shí)，△AOC成為等腰直角三角形，
即x-2=2，
解得x=4．
即x=4時(shí)，△AOC為等腰直角三角形．
當(dāng)x=4時(shí)，DO=2x-4=8-4=4，即DO=BO．
∴△BOD也是等腰直角三角形．（8分）

（2）當(dāng)時(shí)間為4s時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）．
設(shè)拋物線的關(guān)系式為y=ax²+bx+c，
則

4a-2b+c=0 16a+4b+c=0 c=2

，
解之得y=-

1

4

x²+

1

2

x+2．
∵y=-

1

4

x²+

1

2

x+2=-

1

4

（x²-2x-8）=-

1

4

[（x-1）²-9]=-

1

4

（x-1）²+

9

4

．
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，

9

4

）．

點(diǎn)評：此題是典型的動點(diǎn)問題，把三角形的性質(zhì)及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)相結(jié)合，鍛煉了同學(xué)們對所學(xué)知識的綜合運(yùn)用能力．