Question

（2012•茂名）如圖，⊙O與直線l₁相離，圓心O到直線l₁的距離OB=2

3

，OA=4，將直線l₁繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°后得到的直線l₂剛好與⊙O相切于點C，則OC=

2

．

Answer 1

分析：在直角△ABO中，利用正弦三角函數(shù)的定義求得∠OAB=60°，然后由旋轉(zhuǎn)的角度、圖中角與角間的和差關(guān)系知∠OAC=30°；最后由切線的性質(zhì)推知△AOC是直角三角形，在直角三角形中由“30°角所對的直角邊是斜邊的一半”即可求得OC=2．

解答：解：∵OB⊥AB，OB=2

3

，OA=4，
∴在直角△ABO中，sin∠OAB=

OB

OA

=

3

2

，則∠OAB=60°；
又∵∠CAB=30°，
∴∠OAC=∠OAB-∠CAB=30°；
∵直線l₂剛好與⊙O相切于點C，
∴∠ACO=90°，
∴在直角△AOC中，OC=

1

2

OA=2（30°角所對的直角邊是斜邊的一半）．
故答案是：2．

點評：本題考查了解直角三角形、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、切線的性質(zhì)等知識點．切線的性質(zhì)：
①圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．
②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點．
③經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．