Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸有兩個不同的交點A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂），與y軸的正半軸交于點C（0，3）．已知該拋物線的頂點橫坐標為1，A、B兩點間的距離為4．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）求△ABC外接圓的圓心M的縱坐標；
（3）在拋物線上是否存在一點P，使△PBD（PD垂直于x軸，垂足為D）被直線BM分成面積比為1：2兩部分？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c與x軸有兩個不同的交點A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂），且拋物線頂點的橫坐標為1，
∴=1，即x₁+x₂=2①；
又∵A、B兩點間的距離為4，且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁=4②，
①與②組成方程組，
解得，
∴A（-1，0），B（3，0）．
把A（-1，0），B（3，0），C（0，3）代入y=ax²+bx+c，
得，
解得 ，
∴函數解析式為y=-x²+2x+3；

（2）∵△ABC外接圓的圓心是M，
∴MA=MB=MC，M點在線段AB的垂直平分線上，
∵A（-1，0），B（3，0），
∴M的橫坐標為：=1．
設M（1，y），由MA=MC，
得（1+1）²+y²=1²+（y-3）²，
解得y=1．
故△ABC外接圓的圓心M的縱坐標為1；

（3）在拋物線上存在一點P，能夠使△PBD（PD垂直于x軸，垂足為D）被直線BM分成面積比為1：2的兩部分．理由如下：
設PD與BM的交點為E，可求直線BM解析式為y=-x+，
設P（x，-x²+2x+3），分兩種情況：
①當S_△BED：S_△BEP=1：2時，PD=3DE，如圖．
則-x²+2x+3=3（-x+），
整理，得2x²-7x+3=0，
解得x=或3，
∴或（舍去），
∴P（，）；
②當S_△PBE：S_△BED=1：2時，2PD=3DE，如圖．
則2（-x²+2x+3）=3（-x+），
整理，得4x²-11x-3=0，
解得x=-或3，
∴或（舍去），
∴P（-，）．
故在拋物線上存在點P（，）或P（-，），使△PBD（PD垂直于x軸，垂足為D）被直線BM分成面積比為1：2的兩部分．
分析：（1）因為拋物線y=ax²+bx+c與x軸有兩個不同的交點A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），所以A和B關于拋物線的對稱軸對稱，于是=1①；又因為A、B兩點間的距離為4，且x₁＜x₂，所以x₂-x₁=4②，將①②組成方程組，解出x₁，x₂的值，再將點A、B、C的坐標代入y=ax²+bx+c，運用待定系數法即可求出拋物線的解析式；
（2）根據三角形外心的定義可知MA=MB=MC，由MA=MB及A、B兩點的坐標，得出圓心M的橫坐標為1，設M（1，y），根據MA=MC列出方程，即可求出M的縱坐標；
（3）設PD與BM的交點為E，分成兩種情況考慮：①當△BPE的面積是△BDE的2倍時，由于△BDE和△BPD同高不等底，那么它們的面積比等于底邊的比，即DE=PD，可設出P點的坐標，那么E點的縱坐標是P點縱坐標的，BD的長為B、P橫坐標差的絕對值，由于∠OBC=45°，那么BD=DE，可以此作為等量關系求出P點的坐標；②當△BDE的面積是△BPE的2倍時，方法同①．
點評：此題是二次函數的綜合類題目，其中涉及到運用待定系數法求函數的解析式，二次函數的性質，三角形的外心，兩點間的距離公式以及圖形面積的求法等知識，綜合性強，難度稍大，（3）中進行分類討論是解題的關鍵．