Question

【題目】圖1是邊長分別為4和3的兩個等邊三角形紙片ABC和C′D′E′疊放在一起（C與C′重合）．

（1）操作：固定△ABC，將△C′D′E′繞點C順時針旋轉30°得到△CDE，連接AD、BE，CE的延長線交AB于F（圖2）；

探究：在圖2中，線段BE與AD之間有怎樣的大小關系？試證明你的結論．

（2）操作：將圖2中的△CDE，在線段CF上沿著CF方向以每秒1個單位的速度平移，平移后的△CDE設為△PQR（圖3）；

請問：經過多少時間，△PQR與△ABC重疊部分的面積恰好等于？

（3）操作：圖1中△C′D′E′固定，將△ABC移動，使頂點C落在C′E′的中點，邊BC交D′E′于點M，邊AC交D′C′于點N，設∠AC C′＝α（30°＜α＜90，圖4）；

探究：在圖4中，線段C′NE′M的值是否隨α的變化而變化？如果沒有變化，請你求出C′NE′M的值，如果有變化，請你說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) 1秒;(3)見解析.

【解析】

（1）由△ABC與△DCE是等邊三角形，利用SAS易證得△BCE≌△ACD，即可得BE=AD；

（2）首先設經過x秒重疊部分的面積是，在△CQT中，求得QT=QC=x，RT=3-x，根據三角形面積公式可得方程×32-（3-x）2=，解此方程即可求得答案；

（3）首先證得∠MCE′=∠CNC′，又由∠E′=∠C′，根據有兩角對應相等的三角形相似證得△E′MC∽△C′CN，又由相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案．

（1）BE＝AD

證明：∵△ABC與△DCE是等邊三角形，

∴∠ACB＝∠DCE＝60°，CA＝CB，CE＝CD，

∴∠BCE＝∠ACD，

∴△BCE≌△ACD，

∴BE＝AD；

（2）設經過x秒重疊部分的面積是，

如圖在△CQT中，

∵∠TCQ＝30°，∠RQP＝60°，

∴∠QTC＝30°，

∴∠QTC＝∠TCQ，

∴QT＝QC＝x，

∴RT＝3﹣x，

∵∠RTS+∠R＝90°，

∴∠RST＝90°，

由已知得×32-（3-x）2=，

∴x1＝1，x2＝5，

∵0≤x≤3，

∴x＝1，

答：經過1秒重疊部分的面積是；

（3）C′NE′M的值不變．

證明：∵∠ACB＝60°，

∴∠MCE′+∠NCC′＝120°，

∵∠CNC′+∠NCC′＝120°，

∴∠MCE′＝∠CNC′，

∵∠E′＝∠C′，

∴△E′MC∽△C′CN，

∴，

∴C′NE′M＝C′CE′C＝．