(2009•黃岡)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=x2-x-10與y軸的交點為點B,過點B作x軸的平行線BC,交拋物線于點C,連接AC.現(xiàn)有兩動點P,Q分別從O,C兩點同時出發(fā),點P以每秒4個單位的速度沿OA向終點A移動,點Q以每秒1個單位的速度沿CB向點B移動,點P停止運動時,點Q也同時停止運動,線段OC,PQ相交于點D,過點D作DE∥OA,交CA于點E,射線QE交x軸于點F.設(shè)動點P,Q移動的時間為t(單位:秒).
(1)求A,B,C三點的坐標(biāo)和拋物線的頂點的坐標(biāo);
(2)當(dāng)t為何值時,四邊形PQCA為平行四邊形?請寫出計算過程;
(3)當(dāng)0<t<時,△PQF的面積是否總為定值?若是,求出此定值,若不是,請說明理由;
(4)當(dāng)t為何值時,△PQF為等腰三角形?請寫出解答過程.

【答案】分析:(1)已知拋物線的解析式,當(dāng)x=0時,可求得B的坐標(biāo);由于BC∥OA,把B的縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式,可求出C的坐標(biāo);當(dāng)y=0時,可求出A的坐標(biāo).求頂點坐標(biāo)時用公式法或配方法都可以;
(2)當(dāng)四邊形ACQP是平行四邊形時,AP、CQ需滿足平行且相等的條件.已知BC∥OA,只需求t為何值時,AP=CQ,可先用t表示AP,CQ,再列出方程即可求出t的值;
(3)當(dāng)0<t<時,根據(jù)OA=18,P點的速度為4單位/秒,可得出P點總在OA上運動.△PQF中,Q到PF的距離是定值即OB的長,因此只需看PF的值是否有變化即可得出S△PQF是否為定值,已知QC∥PF,根據(jù)平行線分線段成比例定理可得出:,因此可得出OP=AF,那么PF=PA+AF=PA+OP=OA,由于OA的長為定值即PF的長為定值,因此△PQF的面積是不會變化的.其面積的值可用OA•OB求出;
(4)可先用t表示出P,F(xiàn),Q的坐標(biāo),然后根據(jù)坐標(biāo)系中兩點間的距離公式得出PF2,PQ2,F(xiàn)Q2,進(jìn)而可分三種情況進(jìn)行討論:
①△PFQ以PF為斜邊.則PF2=PQ2+FQ2,可求出t的值.
②△PFQ以PQ為斜邊,方法同①
③△PFQ以FQ為斜邊,方法同①.
綜合三種情況即可得出符合條件的t的值.
解答:解:(1)y=(x2-8x-180),
令y=0,得x2-8x-180=0,
即(x-18)(x+10)=0,
∴x=18或x=-10.
∴A(18,0)
在y=x2-x-10中,令x=0得y=-10,
即B(0,-10).
由于BC∥OA,
故點C的縱坐標(biāo)為-10,
由-10=x2-x-10得,
x=8或x=0,
即C(8,-10)且易求出頂點坐標(biāo)為(4,),
于是,A(18,0),B(0,-10),C(8,-10),頂點坐標(biāo)為(4,);

(2)若四邊形PQCA為平行四邊形,由于QC∥PA.
故只要QC=PA即可,
而PA=18-4t,CQ=t,
故18-4t=t得t=;

(3)設(shè)點P運動t秒,則OP=4t,CQ=t,0<t<4.5,
說明P在線段OA上,且不與點OA、重合,
由于QC∥OP知△QDC∽△PDO,故
∵AF=4t=OP
∴PF=PA+AF=PA+OP=18
又∵點Q到直線PF的距離d=10,
∴S△PQF=PF•d=×18×10=90,
于是△PQF的面積總為90;

(4)設(shè)點P運動了t秒,則P(4t,0),F(xiàn)(18+4t,0),Q(8-t,-10)t∈(0,4.5).
∴PQ2=(4t-8+t)2+102=(5t-8)2+100
FQ2=(18+4t-8+t)2+102=(5t+10)2+100.
①若FP=FQ,則182=(5t+10)2+100.
即25(t+2)2=224,(t+2)2=
∵0≤t≤4.5,
∴2≤t+2≤6.5,
∴t+2==
∴t=-2,
②若QP=QF,則(5t-8)2+100=(5t+10)2+100.
即(5t-8)2=(5t+10)2,無0≤t≤4.5的t滿足.
③若PQ=PF,則(5t-8)2+100=182
即(5t-8)2=224,由于≈15,又0≤5t≤22.5,
∴-8≤5t-8≤14.5,而14.52=(2=<224.
故無0≤t≤4.5的t滿足此方程.
注:也可解出t=<0或t=>4.5均不合題意,
故無0≤t≤4.5的t滿足此方程.
綜上所述,當(dāng)t=-2時,△PQF為等腰三角形.
點評:本題著重考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、圖形平移變換、平行四邊形的判定、直角三角形的判定等知識點,綜合性強,考查學(xué)生分類討論,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2010年浙江省杭州市蕭山區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬試卷39(眾安前進(jìn)初中 付建東 孫小芳)(解析版) 題型:解答題

(2009•黃岡)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=x2-x-10與y軸的交點為點B,過點B作x軸的平行線BC,交拋物線于點C,連接AC.現(xiàn)有兩動點P,Q分別從O,C兩點同時出發(fā),點P以每秒4個單位的速度沿OA向終點A移動,點Q以每秒1個單位的速度沿CB向點B移動,點P停止運動時,點Q也同時停止運動,線段OC,PQ相交于點D,過點D作DE∥OA,交CA于點E,射線QE交x軸于點F.設(shè)動點P,Q移動的時間為t(單位:秒).
(1)求A,B,C三點的坐標(biāo)和拋物線的頂點的坐標(biāo);
(2)當(dāng)t為何值時,四邊形PQCA為平行四邊形?請寫出計算過程;
(3)當(dāng)0<t<時,△PQF的面積是否總為定值?若是,求出此定值,若不是,請說明理由;
(4)當(dāng)t為何值時,△PQF為等腰三角形?請寫出解答過程.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2009年湖北省黃岡市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(2009•黃岡)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=x2-x-10與y軸的交點為點B,過點B作x軸的平行線BC,交拋物線于點C,連接AC.現(xiàn)有兩動點P,Q分別從O,C兩點同時出發(fā),點P以每秒4個單位的速度沿OA向終點A移動,點Q以每秒1個單位的速度沿CB向點B移動,點P停止運動時,點Q也同時停止運動,線段OC,PQ相交于點D,過點D作DE∥OA,交CA于點E,射線QE交x軸于點F.設(shè)動點P,Q移動的時間為t(單位:秒).
(1)求A,B,C三點的坐標(biāo)和拋物線的頂點的坐標(biāo);
(2)當(dāng)t為何值時,四邊形PQCA為平行四邊形?請寫出計算過程;
(3)當(dāng)0<t<時,△PQF的面積是否總為定值?若是,求出此定值,若不是,請說明理由;
(4)當(dāng)t為何值時,△PQF為等腰三角形?請寫出解答過程.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2009年全國中考數(shù)學(xué)試題匯編《四邊形》(08)(解析版) 題型:解答題

(2009•黃岡)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,點E為AB中點,連接CE,過點E作ED⊥BC于點D,在DE的延長線上取一點F,使AF=CE.求證:四邊形ACEF是平行四邊形.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2009年湖北省黃岡市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(2009•黃岡)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,點E為AB中點,連接CE,過點E作ED⊥BC于點D,在DE的延長線上取一點F,使AF=CE.求證:四邊形ACEF是平行四邊形.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案