Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=mx²﹣8mx+4m+2（m＞2）與y軸的交點(diǎn)為A，與x軸的交點(diǎn)分別為B（x₁，0），C（x₂，0），且x₂﹣x₁=4，直線AD∥x軸，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E（t，0）過(guò)點(diǎn)E作平行于y軸的直線l與拋物線、直線AD的交點(diǎn)分別為P、Q．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)0＜t≤8時(shí)，求△APC面積的最大值；

（3）當(dāng)t＞2時(shí)，是否存在點(diǎn)P，使以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）由題意知x₁、x₂是方程mx²﹣8mx+4m+2=0的兩根，

∴x₁+x₂=8，

由

解得：

∴B（2，0）、C（6，0）

則4m﹣16m+4m+2=0，

解得：m=，

∴該拋物線解析式為：y=；

（2）可求得A（0，3）

設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，

∵

∴

∴直線AC的解析式為：y=﹣x+3，

要構(gòu)成△APC，顯然t≠6，分兩種情況討論：

①當(dāng)0＜t＜6時(shí)，設(shè)直線l與AC交點(diǎn)為F，則：F（t，﹣），

∵P（t，），∴PF=，

∴S_△APC=S_△APF+S_△CPF

=

=

=，

此時(shí)最大值為：，

②當(dāng)6≤t≤8時(shí)，設(shè)直線l與AC交點(diǎn)為M，則：M（t，﹣），

∵P（t，），∴PM=，

∴S_△APC=S_△APF﹣S_△CPF=

=

=，

當(dāng)t=8時(shí)，取最大值，最大值為：12，

綜上可知，當(dāng)0＜t≤8時(shí)，△APC面積的最大值為12；

（3）如圖，連接AB，則△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=2，

Q（t，3），P（t，），

①當(dāng)2＜t≤6時(shí)，AQ=t，PQ=，

若：△AOB∽△AQP，則：，

即：，

∴t=0（舍），或t=，

若△AOB∽△PQA，則：，

即：，

∴t=0（舍）或t=2（舍），

②當(dāng)t＞6時(shí)，AQ′=t，PQ′=，

若：△AOB∽△AQP，則：，

即：，

∴t=0（舍），或t=，

若△AOB∽△PQA，則：，

即：，

∴t=0（舍）或t=14，

∴t=或t=或t=14．