解:(1)在Rt△ABC中,OC⊥AB,
∴△AOC∽△COB.
∴OC
2=OA•OB.
∵OA:OB=3:1,C(0,
),
∴(
)
2=3OB•OB.
∴OB=1.
∴OA=3.
∴A(-3,0),B(1,0).
設拋物線的解析式為y=ax
2+bx+c.
則
.
解之,得
∴經過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=-
x
2-
x+
;
(2)EF與⊙O
1、⊙O
2都相切.
證明:連接O
1E、OE、OF.
∵∠ECF=∠AEO=∠BFO=90°,
∴四邊形EOFC為矩形.
∴QE=QO,
∴∠1=∠2.
∵∠3=∠4,∠2+∠4=90°,
∴EF與⊙O
1相切.
同理:EF與⊙O
2相切;
(3)作MP⊥OA于P,設MN=a,由題意可得MP=MN=a.
∵MN∥OA,
∴△CMN∽△CAO.
∴
.
∴
.
解之,得a=
.
此時,四邊形OPMN是正方形.
∴MN=OP=
.
∴P(-
,0).
考慮到四邊形PMNO此時為正方形,
∴點P在原點時仍可滿足△PMN是以MN為一直角邊的等腰直角三角形.
故x軸上存在點P使得△PMN是一個以MN為一直角邊的等腰直角三角形且P(-
,0)或P(0,0).
分析:(1)已知了C點的坐標,即可求出OC的值,題中告訴了OA,OB的比例關系,因此可用射影定理求出OA,OB的長,即可得出A,B兩點的坐標,然后用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式;
(2)證EF與圓的關系,可連接O
1E,O
2F證是否與EF垂直即可.連接OE,OF,那么四邊形EOFC是個矩形,根據(jù)矩形的對角線相等且互相平分的特點,可得出QO=QE,那么∠1=∠2,而∠3=∠4,因此可得出∠1+∠3=90°,即可證得,O
1E⊥EF,因此EF是圓O
1的切線,同理可證得EF也是圓O
2的切線,因此EF是兩圓的公切線;
(3)①先求PM=MN時,P點的坐標,此時四邊形PMNO是個正方形,可根據(jù)相似三角形CMN和CAO來求出MN的長,即可得出P點的坐標.
②在①中已經得出四邊形MPON是正方形,因此P在O點時,也符合題中的條件,此時P點坐標即為原點坐標.
綜上所述即可求出符合條件的P的坐標.
點評:本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形相似、直線與圓的位置關系、等腰直角三角形的判定等知點,綜合性強,考查學生分類討論,數(shù)形結合的數(shù)學思想方法.