Question

在平面直角坐標系中，已知等腰梯形ABCD的三個頂點A（-2，0），B（6，0），C（4，6），對角線AC與BD相交于點E．
（1）求E的坐標；
（2）若M是x軸上一動點，求MC+MD的最小值；
（3）在y軸正半軸上求點P，使以P、B、C為頂點的三角形為等腰三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）作EF⊥AB，根據(jù)已知，可得出OD=6，F(xiàn)B=4，OF=2，然后，根據(jù)相似，即可求出EF的長，即可得出點E的坐標；
（2）作點D關于x軸的對稱點D′，則D′的坐標為（0，-6），根據(jù)兩點間的距離公式，算出即可；
（3）設點P（0，y），y＞0，分三種情況，①PC=BC；②PB=BC；③PB=PC；解答出即可；
解答：解：（1）作EF⊥AB，
∴=，
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴AE=BE，
∴在等腰三角形ABE中，AF=BF，
∵A（-2，0），B（6，0），C（4，6），
∴點D的坐標為（0，6），
∴OD=6，F(xiàn)B=4，OF=2，
∴=，
∴EF=4，
∴點E的坐標為（2，4）；

（2）由題意可得，
點D關于x軸的對稱點D′的坐標為（0，-6），
CD′與x軸的交點為M，
∴此時，MC+MD=CD′為最小值，
∴CD′==4；

（3）設點P（0，y），y＞0，
分三種情況，①PC=BC；
∴4²+（6-y）²=2²+6²，
解得，y=6±；
②PB=BC；
∴6²+y²=2²+6²，
解得，y=2，y=-2（舍去）；
③PB=PC；
∴6²+y²=4²+（6-y）²，
解得，y=；
綜上，點P的坐標為：（0，6+），（0，6-），（0，2），（0，）．
點評：本題主要考查了等腰梯形、等腰三角形、最短路線問題及坐標與圖形的關系，鍛煉了學生對于知識的綜合運用能力和良好的空間想象能力．