Question

【題目】如圖，在菱形中，對(duì)角線、交于點(diǎn)，已知，．

（1）求的長(zhǎng)；

（2）點(diǎn)為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度后得到對(duì)應(yīng)的線段（即，交于點(diǎn)．

①當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；

②連接、，當(dāng)的長(zhǎng)度最小時(shí)，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）①；②當(dāng)DF的長(zhǎng)度最小時(shí)，△ACF的面積為．

【解析】

（1）利用菱形的性質(zhì)，把所求的BD的一半BO放到Rt△AOB中用勾股定理求解即可；

（2）①當(dāng)時(shí)，可利用△ACD的面積求出CE的長(zhǎng)度，因?yàn)橐阎獥l件中有相等的角∠ECF＝∠BCD，所以尋找△CEF是否與△BCD相似，然后利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出EF的長(zhǎng)度；

②如果直接求△ACF面積的最小值并不好求，因?yàn)橹挥幸贿?/span>AC已知，而AC邊上的高的最小值并不好確定，所以想辦法進(jìn)行轉(zhuǎn)化.通過(guò)題目中的已知條件發(fā)現(xiàn)△BCE≌△DCF，從而得出BE=DF，所以當(dāng)DF最小時(shí)，也就是BE最小時(shí).當(dāng)BE⊥DE時(shí)，BE最小，從而可利用相似求出△ACF面積的最小值.

解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD＝AB＝BC＝CD＝，AC⊥BD，

OA＝OC＝AC＝，OB＝OD，

在Rt△AOB中，由勾股定理得：

∴BD＝2OB＝8；

（2）①

∴

∴

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠ECF＝∠BCD，CF＝CE，

∴，

∴△ECF∽△BCD，

∴，

∴；

②如圖所示：

∵∠BCD=∠ECF

∴∠BCD-∠ECD =∠ECF-∠ECD

∴∠BCE=∠DCF

在△BCE和△DCF中，

∴△BCE≌△DCF（SAS），

∴BE＝DF，

當(dāng)BE最小時(shí)，DF就最小，且BE⊥DE時(shí)，BE最小，

此時(shí)∠EBC＝∠FDC＝90°，BE＝DF＝4

∵△BCE,△ABC,△ACD等底等高

∴

∴

∴

過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AD于H，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AD于P，

則∠CPD＝90°，

∴∠PCD+∠PDC＝90°，

∵∠FDC＝90°，

∴∠PDC+∠HDF＝90°，

∴∠PCD＝∠HDF，

∴△PCD∽△HDF，

∴，

∴HF＝，

∴S△ADF＝ADHF＝，

∴S△ACF＝S四邊形ACFD﹣S△ADF＝16﹣＝，

即當(dāng)DF的長(zhǎng)度最小時(shí)，△ACF的面積為．