Question

【題目】如圖，為圓的直徑，為圓上一點，為延長線一點，且，于點．

（1）求證：直線為圓的切線；

（2）設與圓交于點，的延長線與交于點，

①求證：

②若，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②

【解析】

（1）說明OC是△BDA的中位線，利用中位線的性質，得到∠OCE=∠CED=90°，從而得到CE是圓O的切線．

（2）①過點作直徑，連接，，運用已知條件證明，即可得到，即.

②利用直徑上的圓周角，得到△PEF是直角三角形，利用角相等，可得到△PEF∽△PEA、△PCF∽△PAC，從而得到PC=PE=5．然后求出sin∠PEF的值

（1）證明：∵于點∴，

∵，∴是的中點，又∵是的中點，

∴是的中位線，

∴，∴

∴，又∵點在圓上，

∴是圓的切線．

（2）①證明：過點作直徑，連接，，

∵是直徑，∴∴

∵是圓的切線，∴，

∴∴

∵，∴

∵，∴

∴∴．

②∵直徑，∴即

∵∴

∵∴

∴∴

∵∴

在中．