Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，兩個一次函數(shù)y=x，y=-2x+12的圖象相交于點(diǎn)A，動點(diǎn)E從O點(diǎn)出發(fā)，沿OA方向以每秒1個單位的速度運(yùn)動，作EF∥y軸與直線BC交于點(diǎn)F，以EF為一邊向x軸負(fù)方向作正方形EFMN，設(shè)正方形EFMN與△AOC的重疊部分的面積為S．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）求過A、B、O三點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上運(yùn)動時，求出S與運(yùn)動時間t（秒）的函數(shù)表達(dá)式；
（4）在（3）的條件下，t為何值時，S有最大值，最大值是多少？此時（2）中的拋物線的頂點(diǎn)P是否在直線EF上，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可聯(lián)立直線OA和AC的函數(shù)解析式組成方程組，即可求出A點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）先根據(jù)直線BC的解析式求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)已知的A點(diǎn)和原點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求出過A、B、O三點(diǎn)的拋物線的解析式．進(jìn)而可求出其頂點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）如果設(shè)FM與y軸交于R，EN與y軸交于Q，不難得出三角形OEQ為等腰直角三角形，那么本題可分二種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)EF＞QE時，那么重合部分的面積是個矩形的面積，以EF和QE為長和寬．
②當(dāng)EF≤QE時，那么重復(fù)部分就是正方形EFMN的面積．
根據(jù)這兩種情況可得出不同t的取值范圍內(nèi)的S，t的函數(shù)關(guān)系式．
（4）可根據(jù)（3）的函數(shù)得出S的最大值及對應(yīng)的t的值．然后根據(jù)t確定出E，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出直線EF的解析式，由此可判斷出拋物線的頂點(diǎn)是否在直線EF上．
解答：解：（1）依題意得．
解得．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，4）．

（2）直線y=-2x+12與x軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0）．
設(shè)過A、B、O的拋物線的表達(dá)式為y=ax²+bx，
依題意得．
解得．
∴所求拋物線的表達(dá)式為y=-x²+3x．
y=-x²+3x=-（x-3）²+，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)（3，）．

（3）設(shè)直線MF、NE與y軸交于點(diǎn)R、Q，則△OQE是等腰直角三角形．
∵OE=1×t=t，
∴EQ=OQ=，
∴E（，）．
∵EF∥y軸，
∴RF=，RO=-2×t+12=12-．
∴EF=RQ=12--=12-t．
①當(dāng)EF＞QE時，即12-t＞t，
解得t＜3．
∴當(dāng)0≤t＜3時，S=EF•QE=t（12-t）=-t²+6t．
②當(dāng)EF≤QE時，即12-t≤，
解得t≥3．
∴當(dāng)3≤t＜4時，S=EF²=（12-t）²．
（4）當(dāng)0≤t＜3時，S=-t²+6t=-（t-2）²+12．
∴當(dāng)t=2時，S_最大=12．
當(dāng)3≤t＜4時，S_最大=（）²=9．
∴當(dāng)t=2時，S_最大=12．
當(dāng)t=2時，E（2，2），F(xiàn)（2，8），
∵P（3，），
∴點(diǎn)P不在直線EF上．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、函數(shù)圖象交點(diǎn)等知識及綜合應(yīng)用知識、解決問題的能力．考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．