Question

（2007•無錫）王大伯要做一張如圖1的梯子，梯子共有8級(jí)互相平行的踏板，每相鄰兩級(jí)踏板之間的距離都相等．已知梯子最上面一級(jí)踏板的長(zhǎng)度A₁B₁=0.5m，最下面一級(jí)踏板的長(zhǎng)度A₈B₈=0.8m．木工師傅在制作這些踏板時(shí)，截取的木板要比踏板長(zhǎng)，以保證在每級(jí)踏板的兩個(gè)外端各做出一個(gè)長(zhǎng)為4cm的榫頭（如圖2所示），以此來固定踏板．現(xiàn)市場(chǎng)上有長(zhǎng)度為2.1m的木板可以用來制作梯子的踏板（木板的寬厚和厚度正好符合要制作梯子踏板的要求），請(qǐng)問：制作這些踏板，王大伯最少需要買幾塊這樣的木板？請(qǐng)說明理由．（不考慮鋸縫的損耗）

Answer 1

【答案】分析：在解此題的過程中，一定要構(gòu)建相似三角形，因?yàn)樘ぐ逯�間是相互平行，而且間隔相等，所以可利用這一組平行線來構(gòu)建相似三角形，從而依次求出自上而下各條踏板的長(zhǎng)度．另外千萬不要忽略榫頭的長(zhǎng)度；
解法二：可以把梯子看做一個(gè)等腰梯形，由中位線定理即可求解；
解法三：和解法二相同，都是利用梯形中位線，只不過又做了一條踏板A₉B₉，有A₁B₁和A₉B₉能求出A₅B₅，然后有A₅B₅和A₉B₉求出A₇B₇，再有A₇B₇和A₉B₉求出A₈B₈=80，從而算出A₉B₉的具體數(shù)值，這樣的話，A₁B₁至A₈B₈的長(zhǎng)就都能準(zhǔn)確求出，從而算出一共需要多少材料．
解答：解：法一：如圖，設(shè)自上往下第2，3，4，5，6，7級(jí)踏板的長(zhǎng)依次為A₂B₂，A₃B₃，A₇B₇，過A₁作B₁B₈的平行線分別交A₂B₂，A₃B₃，A₈B₈于點(diǎn)C₂，C₃，…，C₈．
∵每?jī)杉?jí)踏板之間的距離相等，
∴C₈B₈=C₇B₇=…=C₂B₂=A₁B₁=50cm，A₈C₈=80-50=30cm．
∵A₂C₂∥A₈B₈，
∴∠A₁A₂C₂=∠A₁A₈C₈，∠A₁C₂A₂=∠A₁C₈A₈，
∴△A₁A₂C₂∽△A₁A₈C₈，
∴A₂C₂：A₈C₈=1：7，
∴，
∴，
設(shè)要制作A₁B₁，A₂B₂，…，A₇B₇，A₈B₈這些踏板需用木板的長(zhǎng)度分別為a₁cm，a₂cm，…，a₈cm，
則a₁=50+8=58，，，，，，，a₈=58+30，
∵，
∴王大伯買的木板肯定不能少于3塊，
又∵，
，
，
∴王大伯最少買3塊這樣的木板就行了．

法二：如圖，分別取A₁A₈，B₁B₈的中點(diǎn)P，Q，連接PQ．
設(shè)自上往下第2，3，4，5，6，7級(jí)踏板的長(zhǎng)依次為A₂B₂，A₃B₃，…，A₇B₇，則由梯形中位線定理可得：
A₁B₁+A₈B₈=A₂B₂+A₇B₇=A₃B₃+A₆B₆=A₄B₄+A₅B₅=2PQ．（2分）
∵A₁B₁=50cm，A₈B₈=80cm，
∴A₁B₁+A₈B₈=A₂B₂+A₇B₇=A₃B₃+A₆B₆=A₄B₄+A₅B₅=130．（3分）
設(shè)要制作A₁B₁，A₂B₂，…，A₇B₇，A₈B₈，
這些踏板需用木板的長(zhǎng)度為a₁cm，a₂cm，…，a₈cm，
則a₁+a₈=a₂+a₇=a₃+a₆=a₄+a₅=146．
∵a₁+a₂+…+a₈=146×4=584＞210×2，
∴王大伯買的木板肯定不能少于3塊．（4分）
過A₁作B₁B₈的平行線分別交A₂B₂，A₃B₃，…，A₈B₈，
于點(diǎn)C₂，C₃，…，C₈．
∵每?jī)杉?jí)踏板之間的距離相等，
∴C₈B₈=C₇B₇=…=C₂B₂=A₁B₁=50cm，A₈C₈=80-50=30cm．
∵A₂C₂∥A₈B₈，
∴∠A₁A₂C₂=∠A₁A₈C₈，∠A₁C₂A₂=∠A₁C₈A₈，
∴△A₁A₂C₂∽△A₁A₈C₈，
∴A₂C₂：A₈C₈=1：7，
∴，
∴，（6分）
∴．
而a₁=58，a₈=88，
∴a₁+a₃+a₆=58+146=204＜210，，a₇+a₈＜a₈+a₈=88×2＜210．
∴王大伯最少買3塊這樣的木板就行了．（8分）

法三：如果在梯子的下面再做第9級(jí)踏板，
它與其上面一級(jí)踏板之間的距離等于梯子相鄰兩級(jí)踏板之間的距離（如圖），
設(shè)第9級(jí)踏板的長(zhǎng)為xcm，
則由梯形中位線的性質(zhì)可得：
第5級(jí)踏板的長(zhǎng)A₅B₅=（50+x）cm，
第7級(jí)踏板的長(zhǎng)A₇B₇=[（50+x）+x]cm，
由題意得：
第8級(jí)踏板的長(zhǎng)A₈B₈={[（50+x）+x]+x}=80，
解這個(gè)方程得：
，（2分）
由此可求得：
cm，，，，，．
設(shè)要制作A₁B₁，A₂B₂，…，A₇B₇，A₈B₈，這些踏板需截取的木板長(zhǎng)度分別為a₁cm，a₂cm，…，a₈cm，
則a₁=50+8=58，，，，，，，a₈=88．
∴a₁+a₃+a₆=58+146=204＜210，，a₇+a₈＜a₈+a₈=88×2＜210．
∴王大伯最少買3塊這樣的木板就行了（5分）
點(diǎn)評(píng)：此題構(gòu)建相似三角形是關(guān)鍵，只要將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用相似比即可求出，相對(duì)來講，方法三還是比較簡(jiǎn)單的．