如圖，⊙O1和⊙O2內(nèi)切于點(diǎn)A，⊙O2的弦BC切⊙O1于D．AD的延長(zhǎng)線(xiàn)交⊙O2于M，連接AB、AC分別交⊙精英家教網(wǎng)O1于E、F，連接EF．
（1）求證：EF∥BC；
（2）求證：AB•AC=AD•AM；
（3）若⊙O1的半徑r1=3，⊙O2的半徑r2=8，BC是⊙O2的直徑，求AB和AC的長(zhǎng)（AB＞AC）．
分析：（1）作兩圓的外公切線(xiàn)AT，根據(jù)弦切角定理得：∠TAB=∠AFE=∠ACB，則EF∥BC；
（2）根據(jù)弦切角定理得：∠ADB=∠ACM，推得△ADB∽△ACM，得出比例式
AD
AC
=
AB
AM
，再轉(zhuǎn)化成乘積式AB•AC=AD•AM；
（3）連接O1D，由BC切⊙O1于D，根據(jù)勾股定理得O2D=4，再由O1E∥O2B，得出比例式，推出BE=
5
8
AB，根據(jù)切割線(xiàn)定理，求AB和AC的長(zhǎng)．
解答：精英家教網(wǎng)（1）證明：如圖，過(guò)A作⊙O1、⊙O2的公切線(xiàn)AT
∵∠TAB=∠AFE=∠ACB，∴EF∥BC，

（2）證明：連接CM，
∵∠ABD=∠AMC，∠TAM=∠ADB，∠TAM=∠ACM，
∴∠ADB=∠ACM，
∴△ADB∽△ACM，
∴
AD
AC
=
AB
AM

即AB•AC=AD•AM．

（3）解：連接O1D，∴O1D⊥BC，連接O2O1并延長(zhǎng)，必過(guò)A點(diǎn)，
在Rt△O1O2D中，可求得O2D=4，
∴BD=12，CD=4．
∵O1E∥O2B，∴
AE
AB
=
r1
r2
=
3
8

∴BE=
5
8
AB
∵BD2=AB•BE，∴122=AB•
5
8
AB
∴AB=
24
10
5
，AC=
8
10
5
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用、切割線(xiàn)定理、切線(xiàn)的性質(zhì)定理和勾股定理．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

20、已知：如圖，⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在⊙O2上，且在⊙1外，直線(xiàn)PA、PB分別交⊙O1于C、D，問(wèn)：⊙O1的弦CD的長(zhǎng)是否隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請(qǐng)你確定CD最長(zhǎng)和最短時(shí)P的位置，如果不發(fā)生變化，請(qǐng)你給出證明．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知：如圖，⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)B點(diǎn)作⊙O1的切線(xiàn)交⊙O2于D點(diǎn)，連接DA并延精英家教網(wǎng)長(zhǎng)⊙O1相交于C點(diǎn)，連接BC，過(guò)A點(diǎn)作AE∥BC與⊙O相交于E點(diǎn)，與BD相交于F點(diǎn)．
（1）求證：EF•BC=DE•AC；
（2）若AD=3，AC=1，AF=
3
，求EF的長(zhǎng)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，⊙O1的弦AC與⊙O2相切，P是
AmC
的中點(diǎn)，PA精英家教網(wǎng)、PB的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交⊙O2于點(diǎn)E、F，PB交AC于D．
（1）求證：PC∥AF；
（2）求證：AE•PC=BE•PD；
（3）若A是PE的中點(diǎn)，則⊙O1與⊙O2是否是等圓？若不是等圓，請(qǐng)說(shuō)明理由；若是等圓，請(qǐng)給出證明．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

16、如圖．⊙O1和⊙O2外切于點(diǎn)A，BC是⊙O1和⊙O2的公切線(xiàn)，B、C為切點(diǎn)，求證：AB⊥AC．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2001•黃岡）已知，如圖，⊙O1和⊙O2內(nèi)切于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)交⊙O1于點(diǎn)D，交⊙O2于點(diǎn)E；DA與⊙O2相切，切點(diǎn)為C．
（1）求證：PC平分∠APD；
（2）PE=3，PA=6，求PC的長(zhǎng)．

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