Question

已知：二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，其中點A的坐標(biāo)是（-1，0），與y軸負(fù)半軸交于點C，其對稱軸是直線x=

3

2

，tan∠BAC=2．
（1）求二次函數(shù)y=ax²+bx+c的解析式；
（2）作圓O’，使它經(jīng)過點A、B、C，點E是AC延長線上一點，∠BCE的平分線CD交圓O’于點D，連接AD、BD，求△ACD的面積；
（3）在（2）的條件下，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象上是否存在點P，使得∠PDB=∠CAD？如果存在，請求出所有符合條件的P點坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，所以A、B一定關(guān)于對稱軸x=

3

2

對稱，已知A的坐標(biāo)，就可以求出B的坐標(biāo)．Rt△OAC中根據(jù)三角函數(shù)就可以求出OA、OC的長，得到C點的坐標(biāo)．利用待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式．
（2）A、B、C三點的坐標(biāo)已知，可以證明△ABC是直角三角形，因而O′是AB的中點，則坐標(biāo)可以求出．易證△ABD△AOF是等腰直角三角形，就可以求出CF的長，S_△ACD=S_△ACF+S_△DCF，而△ACF中CF邊上的高時A點的橫坐標(biāo)的絕對值，△CFD的CF邊上的高是D點的橫坐標(biāo)的絕對值．D點的坐標(biāo)容易求出，因而△ACD的面積就可以得到．
（3）拋物線上存在點P，使得∠PDB=∠CAD．分兩種情況討論：①過點D作直線MN∥BC，交y軸于M．易證∠BDN=∠CAD，
直線MN與拋物線在D點右側(cè)的交點即為點P．求出直線MN的解析式，解直線的解析式與拋物線的解析式組成的方程組就可以求出P的坐標(biāo)；②過點D作∠O’DG=∠O’BC，交x軸于G點．根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可以證得∠DO’G=∠COB，則直線DG與拋物線在D點右側(cè)的交點即為P點．求出直線MN的解析式，解直線的解析式與拋物線的解析式組成的方程組就可以求出P的坐標(biāo)；

解答：解：（1）∵A（-1，0）與點B關(guān)于直線x=

3

2

對稱，
∴點B坐標(biāo)為（4，0）
在Rt△OAC中，tan∠BAC=

OC

OA

=2，
∵AO=1
∴OC=2，
∴C（0，-2）（1分）
∴

a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=-2

（1分）
解得

a= 1 2 b=- 3 2 c=-2

，
∴拋物線的解析式為：y=

1

2

x²-

3

2

x-2（1分）

（2）∵A（-1，0），B（4，0），C（0，-2）
∴OA=1，OB=4，OC=2，
∴

OC

OA

=

OB

OC

又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠BAC=∠BCO，
∴∠ACB=90°（1分）
∴AB為圓O’的直徑，O’點坐標(biāo)為（

3

2

，0），
∴∠ADB=90°
又∵CD平分∠BCE，
∴∠BCD=∠ECD=45°，
∴∠DAB=45°，△ADB為等腰直角三角形．
連接O’D，則DO'=

1

2

AB，DO’⊥AB，
∴DO′=

5

2

，D點坐標(biāo)為（

3

2

，-

5

2

）（1分）
設(shè)AD與y軸交于點F，
∵∠DAB=45°，
∴OF=OA=1，
∴CF=1
作DH⊥y軸于點H，
∵D（

3

2

，-

5

2

），
∴DH=

3

2

，OH=

5

2

∴S_△ACD=S_△ACF+S_△DCF=

1

2

×1×1+

1

2

×1×

3

2

=

5

4

；（1分）

（3）拋物線上存在點P，使得∠PDB=∠CAD．分兩種情況討論：
①過點D作直線MN∥BC，交y軸于M．
∵M(jìn)N∥BC，
∴∠BDN=∠CBD，∠OCB=∠HMD
又∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BDN=∠CAD，直線MN與拋物線在D點右側(cè)的交點即為點P．
∵∠OCB=∠HMD，∠COB=∠MHD=90°，
∴△HDM∽△OCB，
∴

MH

DH

=

OC

OB

=

2

4

∵DH=

3

2

∴MH=

3

4

，M(0，-

13

4

)．
設(shè)直線MD的解析式為y=mx+n
則有

3 2 m+n=- 5 2 n=- 13 4

，
解得

m= 1 2 n=- 13 4

，
直線MD的解析式為y=

1

2

x-

13

4

（1分）
∴

y= 1 2 x2- 3 2 x-2 y= 1 2 x- 13 4

解得

x1= 4+ 6 2 y1= 6 -9 4

，

x2= 4- 6 2 y2=- 6 +9 4

（舍）
∴P1(

4+ 6

2

，

6 -9

4

)（1分）
②過點D作∠O’DG=∠O’BC，交x軸于G點．
∵∠O’DB=∠O’BD=45°，
∴∠GDB=∠CBD=∠CAD
即直線DG與拋物線在D點右側(cè)的交點即為P點
又∵∠DO’G=∠COB，
∴△DO'G∽△BOC
∴

O′G

O′D

=

CO

OB

∴O′ G=

5

4

∴GG(

11

4

，0)
設(shè)直線DG的解析式為y=px+q
則有

11 4 p+q=0 3 2 p+q=- 5 2

，
解得

p=2 q=- 11 2

，
∴直線DG的解析式為y=2x-

11

2

（1分）
∴

y= 1 2 x2- 3 2 x-2 y=2x- 11 2

，
解得

x3= 7+ 21 2 y3= 3+2 21 2

，

x4= 7- 21 2 y4= 3-2 21 2

（舍）
∴P2(

7+ 21

2

，

3+2 21

2

)
∴符合條件的P點有兩個：P1(

4+ 6

2

，

6 -9

4

)，P2(

7+ 21

2

，

3+2 21

2

)．（1分）

點評：此題作為壓軸題，綜合了兩大重要知識，二次函數(shù)的和圓，難度較大，有利于使同學(xué)們養(yǎng)成耐心細(xì)致的學(xué)習(xí)習(xí)慣，頑強(qiáng)的意志品質(zhì)．
命題立意：此題主要考查二次函數(shù)的解析式的求法，并將二次函數(shù)與圓相結(jié)合，綜合利用二次函數(shù)及圓的有關(guān)知識．