Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A、C的坐標分別為（-1，0）、（0，-

3

），點B在x軸上．已知某二次函數的圖象經過A、B、C三點，且它的對稱軸為直線x=1．
（1）求該二次函數的解析式；
（2）點D為直線BC下方的二次函數圖象上的一個動點（點D與B、C不重合），過點D作y軸的平行線交BC于點E，設點D的橫坐標為m，DE=n，n與m的函數關系式；
（3）點M在y軸上，點N在拋物線上．是否存在以M、N、A、B四點為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據二次函數的對稱性求出點B的坐標，再利用待定系數法求二次函數解析式解答即可；
（2）根據拋物線解析式求出點D的縱坐標，再利用待定系數法求求出直線BC的解析式，然后求出點E的縱坐標，然后用點E的縱坐標減去點D的縱坐標，整理即可得解；
（3）分①AB是平行四邊形的邊時，先求出AB的長度，再根據平行四邊形的對邊相等求出點N的橫坐標，然后利用拋物線解析式計算求出縱坐標，從而得解；②AB是對角線時，根據平行四邊形的對角線互相平分求出點N的橫坐標，然后利用拋物線解析式計算求出縱坐標，從而得解．

解答：解：（1）設二次函數的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0，a、b、c為常數），
由拋物線的對稱性知B點坐標為（3，0），
依題意得，

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=- 3

，
解得

a= 3 3 b=- 2 3 3 c=- 3

，
所以，二次函數的解析式為y=

3

3

x²-

2 3

3

x-

3

；

（2）∵點D的橫坐標為m，
∴點D的縱坐標為

3

3

m²-

2 3

3

m-

3

，
設直線BC的解析式為y=kx+b′（k≠0，k、b′是常數），
依題意得，

3k+b′=0 b′=- 3

，
解得

k= 3 3 b′=- 3

，
所以，直線BC的解析式為y=

3

3

x-

3

，
∴點E的坐標為（m，

3

3

m-

3

），
∴DE的長度n=

3

3

m-

3

-（

3

3

m²-

2 3

3

m-

3

）=

3

3

m²-

3

m，
∵點D在直線BC下方，
∴0＜m＜3；

（3）①AB是平行四邊形的邊時，
∵A（-1，0）、B（3，0），
∴AB=3-（-1）=4，
若點N在y軸的左邊，則點N的橫坐標為-4，
所以，y=

3

3

×（-4）²-

2 3

3

×（-4）-

3

=7

3

，
此時，點N的坐標為（-4，7

3

），
若點N在y軸的右邊，則點N的橫坐標為4，
所以，y=

3

3

×4²-

2 3

3

×4-

3

=

5 3

3

，
此時，點N的坐標為（4，

5 3

3

）；
②AB是對角線時，∵點M在y軸上，拋物線對稱軸為直線x=1，
∴點N的橫坐標為2，
∴y=

3

3

×2²-

2 3

3

×2-

3

=-

3

，
此時，點N的坐標為（2，-

3

）；
綜上所述，點N的坐標為（-4，7

3

）或（4，

5 3

3

）或（2，-

3

）．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了二次函數的對稱性，待定系數法求二次函數解析式，待定系數法求一次函數解析式，兩點間的距離，平行四邊形對邊相等，對角線互相平分的性質，（3）要分情況討論．