Question

5．已知如圖，拋物線y=ax²+bx+2與x軸相交于B（x₁，0）、C（x₂，0）（x₁，x₂均大于0）兩點，與y軸的正半軸相交于A點．過A、B、C三點的⊙P與y軸相切于點A，其面積為$\frac{25π}{4}$．
（1）請確定拋物線的解析式；
（2）M為y軸負半軸上的一個動點，直線MB交⊙P于點D．若△AOB與以A、B、D為頂點的三角形相似，求MB•MD的值．（先畫出符合題意的示意圖再求解）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意結(jié)合垂徑定理的推論得出B，C點坐標，進而利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)題意∠OAB=∠ADB，所以△AOB和△ABD相似有兩種情況：①∠ABD和∠AOB對應(yīng)，此時AD是⊙P的直徑，②∠BAD和∠AOB對應(yīng)，此時BD是⊙P的直徑，所以直線MB過P點，分別求解．

解答 解：（1）根據(jù)題意知：圓半徑PA=$\frac{5}{2}$，取BC中點為E，連接PB，PE，則PE⊥BC
且PB=PA=$\frac{5}{2}$，PO=OA=2，
由勾股定理和圓性質(zhì)知：
BE=CE=$\frac{3}{2}$，
從而知：B（1，0），C（4，0），
將B，C兩點坐標代入拋物線方程y=ax²+bx+2得：
$\left\{\begin{array}{l}{a+b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$．
故拋物線的解析式是：$y=\frac{1}{2}{x^2}-\frac{5}{2}x+2$；

（2）根據(jù)題意∠OAB=∠ADB，所以△AOB和△ABD相似有兩種情況：
①如圖2，∠ABD和∠AOB對應(yīng)，此時AD是⊙P的直徑，
則AB=$\sqrt{5}$，AD=5，BD=2$\sqrt{5}$，
∵Rt△AMB∽Rt△DAB，
∴$\frac{MA}{AD}$=$\frac{AB}{BD}$，
即MA=$\frac{AB•AD}{BD}=\frac{5}{2}$
又∵Rt△AMB∽Rt△DMA
∴MA：MD=MB：MA
即MB•MD=MA²=$\frac{25}{4}$；

②如圖3，∠BAD和∠AOB對應(yīng)，此時BD是⊙P的直徑，所以直線MB過P點，
∵B（1，0），P（$\frac{5}{2}$，2），
設(shè)直線MB的解析式為：y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{\frac{5}{2}k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線MB的解析式是：$y=\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}$
∴M點的坐標為（0，$-\frac{4}{3}$）
∴AM=$\frac{10}{3}$，
∵△MAB∽△MDA，
∴$\frac{MA}{MD}$=$\frac{MB}{MA}$，
∴MB•MD=MA²=$\frac{100}{9}$．

點評 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等知識，根據(jù)題意利用分類討論得出MB•MD的值是解題關(guān)鍵．