Question

數(shù)學課上，老師出示圖和下面條件：

如圖，在直角坐標平面內(nèi)，O為坐標原點，A點坐標為(1，0)，點B在x軸上且在點A的右側(cè)，AB＝OA．過點A和B作x軸的垂線，分別交二次函數(shù)y＝x²的圖像于點C和D．直線OC交BD于點M，直線CD交y軸于點H．記點C、D的橫坐標分別為x_C、x_D，點H的縱坐標為y_H．

同學發(fā)現(xiàn)兩個結(jié)論：①S_△CMD∶S_梯形ABMC＝2∶3；②數(shù)值相等關系：x_C·x_D＝－y_H．

(1)請你驗證結(jié)論①和結(jié)論②成立；

(2)請你研究：如果將上述條件“A點坐標為(1，0)”改為“A點坐標為(t，0)(t＞0)”，其他條件不變，結(jié)論①是否仍成立？(請說明理由)

(3)進一步研究：如果將上述條件“A點坐標為(1，0)”改為“A點坐標為(t，0)(t＞0)”，又將條件“y＝x²”改為“y＝ax²(a＞0)”，其他條件不變，那么x_C、x_D和y_H有怎樣的數(shù)值關系？(寫出結(jié)果并說明理由)

Answer 1

答案：
解析：

(1)由已知可得點B的坐標為(2，0)，點C的坐標為(1，1)，點D的坐標為(2，4)，由點C坐標為(1，1)易得直線OC的函數(shù)解析式為y＝x， 　　∴點M的坐標為(2，2)， 　　∴S△CMD＝1，S梯形ABMC＝， 　　∴S△CMD∶S梯形ABMC＝2∶3，即結(jié)論①成立； 　　設直線CD的函數(shù)解析式為y＝kx＋b， 　　則得 　　∴直線CD的函數(shù)解析式為y＝3x－2． 　　由上述可得，點H的坐標為(0，－2)，yH＝－2． 　　∵xC·xD＝2，∴xC·xD＝－yH，即結(jié)論②成立． 　　(2)結(jié)論①仍成立． 　　∵點A的坐標為(t，0)(t＞0)，則點B坐標為(2t，0)，從而點C坐標為(t，t2)，點D坐標為(2t，4t2)，設直線OC的函數(shù)解析式為y＝kx，則t2＝kt，得k＝t， 　　∴直線OC的函數(shù)解析式為y＝tx． 　　設點M的坐標為(2t，y)， 　　∵點M的直線OC上， 　　∴當x＝2t時，y＝2t2，點M的坐標為(2t，2t2)，∴S△CMD∶S梯形ABMC＝(·2t2·t)∶〔(t2＋2t2)〕＝2∶3，∴結(jié)論①仍成立． 　　(3)xC·xD＝－yH，由題意，當二次函數(shù)的解析式為y＝ax2(a＞0)，且點A坐標為(t，0)(t＞0)時，點C坐標為(t，at2)，點D的坐標為(2t，4at2)． 　　設直線CD的函數(shù)解析式為y＝kx＋b， 　　則得 　　∴直線CD的函數(shù)解析式為y＝3atx－2at2，則點H的坐標為(0，－2at2)，yH＝－2at2． 　　∵xC·xD＝2t2， 　　∴xC·xD＝－yH．