Question

如圖，直徑AE平分弦CD，交CD于點(diǎn)G，EF∥CD，交AD的延長線于F，AP⊥AC交CD的延長線于點(diǎn)P．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若AC=2，PD=

1

2

CD，求tan∠P的值．

Answer 1

分析：（1）欲證明EF是⊙O的切線，只需證明∠AEF=90°即可；
（2）利用相似三角形的判定定理AA證得△CAG∽△CPA，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例知AC²=CG•CP，從而求得CP²=12；再在直角三角形APC中利用勾股定理求得AP的長度；最后由直角三角形中的銳角三角函數(shù)的定義求得tan∠P的值．

解答：（1）證明：∵直徑AE平分弦CD，
∴AG⊥CD（垂徑定理）．（3分）
∵EF∥CD（已知），
∴∠AEF=∠AGD=90°．
∴EF是⊙O的切線．（6分）

（2）∵∠CAP=∠AGC=90°，∠ACG=∠PCA．
∴△CAG∽△CPA（AA）．
∴AC²=CG•CP（相似三角形的對應(yīng)邊成比例）．（9分）
又∵PD=

1

2

CD（已知），
CG=GD，
∴CG=

1

3

PC．而AC=2，
∴2²=

1

3

PC•PC，∴PC²=12．（11分）
又∵AC⊥AP，∴AP²=PC²-AC²（勾股定理），
∴AP=2

2

．（13分）
∴tan∠P=

AC

AP

=

2

2 2

=

2

2

．（15分）

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定定理、切線的判定與性質(zhì)．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．