Question

（2012•龍巖質(zhì)檢）觀察、猜想、探究
已知矩形ABCD中，直線l垂直AC于點C，點E是BC上的動點（不與點C重合），過點E作EF⊥AE交直線l于點F．
（1）如圖①，當AB=BC，E為BC中點時，猜想線段AE與FE有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）如圖②，已知AB=3，AD=4．
①當點E與點B重合時，求AE：EF的值；
②探究：當點E在線段BC上運動時，AE：EF的值是否發(fā)生改變？若不變，請求出該值并給予證明；若發(fā)生改變，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）當AB=BC，BE=EC，取AB中點N，根據(jù)已知得出AN=EC=NB=BE，進而得出∠ANE=∠ECF，∠1=∠2，即可得出△ANE≌△ECF；
（2）①當點E與點B重合時，AE與AB重合，EF與BC重合，得出AE：EF=AB：BC即可得出答案；
②首先過點E作EH⊥BC交AC于H，利用相似三角形的判定得出△AEH∽△FEC，進而求出即可．

解答：（1）證明：如圖（1）當AB=BC，BE=EC，取AB中點N，連接NE，
則AN=EC=NB=BE，
∴∠BNE=∠BEN=45°，∠ANE=135°，
∵AB=BC，∴∠ACB=45°，
∵CF⊥AC，∴∠ACF=90°，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=135°，
即∠ANE=∠ECF，
∵∠B=90°，
∴∠1+∠AEB=90°，
∵AE⊥EF，
∴∠2+∠AEB=90°，
∴∠1=∠2，
在△ANE和△ECF中，

∠1=∠2 AN=EC ∠ANE=∠ECF

，
∴△ANE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；

（2）解：
①當點E與點B重合時，AE與AB重合，EF與BC重合，
AE：EF=AB：BC=3：4；

②比值不變AE：EF=3：4，
證明：如圖（2），過點E作EH⊥BC交AC于H，
則∠1+∠3=90°，
∵AE⊥EF，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∵AD∥BC，
∴∠4=∠5，
∵∠AHE=∠4+90°，∠ECF=∠5+90°，
∴∠AHE=∠ECF，
∴△AEH∽△FEC，
∴

AE

EF

=

EH

EC

，
又∵EH⊥BC，AB⊥BC，
所以

EH

EC

=

AB

BC

=

3

4

，
∴AE：EF=3：4．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出△AEH∽△FEC是解題關(guān)鍵．