(2013•常州模擬)如圖,已知點O為Rt△ABC斜邊上一點,以點O為圓心,OA長為半徑的⊙O與BC相切于點E,與AC相交于點D,連接AE.
(1)說明:AE平分∠CAB;
(2)探究圖中∠1與∠C的數(shù)量關(guān)系,并求當(dāng)AE=EC時tan∠AEB的值.
分析:(1)連接OE,則OE⊥BC,推出OE∥AB,推出∠1=∠OEA=∠BAE,即可得出答案;
(2)求出∠C+∠EOC=90°和∠EOC=2∠1,即可得出答案.
解答:解:(1)連接OE,
∵⊙O與BC相切于E,
∴OE⊥BC,
∵AB⊥BC,
∴AB∥OE,
∴∠BAE=∠OEA,
∵OA=OE,
∴∠1=∠OEA,
∴∠1=∠BAE,
即AE平分∠CAB.

(2)2∠1+∠C=90°,
理由是:∵∠EOC是△AOE的外角,
∴∠EOC=∠1+∠OEA,
∵∠1=∠OEA,
∴∠EOC=2∠1,
∵OE⊥BC,
∴∠OEC=90°,
∴∠EOC+∠C=90°,
∴2∠1+∠C=90°.
∵AE=EC,
∴∠1=∠C,
∴3∠C=90°,
∴∠C=30°,
∴tanC=tan30°=
3
3
點評:本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定,切線的性質(zhì),平行線性質(zhì),解直角三角形等知識點的應(yīng)用,主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力.
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