Question

12、設(shè)n是正整數(shù)，d₁＜d₂＜d₃＜d₄是n的四個(gè)最小的正整數(shù)約數(shù)，若n=d₁²+d₂²+d₃²+d₄²，求n的值．

Answer 1

分析：分情況討論可知n為偶數(shù)，故d₁=1．d₂=2．通過(guò)證明可知n不是4的倍數(shù)．設(shè)d₃=a（a為奇數(shù)），則d必為偶數(shù)，故d₄=2a．則n=1²+2²+a²+（2a）²=5（a²+1），可見(jiàn)n是5的倍數(shù)，從而求出d₃=5，d₄=10，代入即可求得
n的值．

解答：解：若n為奇數(shù)，則d₁，d₂，d₃，d₄全為奇數(shù)，則d₁²+d₂²+d₃²+d₄²為偶數(shù)，與n為奇數(shù)矛盾，
故n為偶數(shù)，故d₁=1．d₂=2．
若n為4的倍數(shù)，則d₃，d₄必有一個(gè)為4，而n為偶數(shù)，
則另一個(gè)為奇數(shù)，d₁²+d₂²+d₃²+d₄²除以4的余數(shù)為2與題意不符，故n不是4的倍數(shù)．
設(shè)d₃=a（a為奇數(shù)），則d必為偶數(shù)，故d₄=2a．
則n=1²+2²+a²+（2a）²=5（a²+1），可見(jiàn)n是5的倍數(shù)，
故d₃=5，d₄=10，n=130．
故n的值為130．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)，解題的關(guān)鍵是采用分類(lèi)思想求出d₁，d₂，d₃，d₄的值，有一點(diǎn)的難度．