Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE=BC．
（1）求∠BAC的度數(shù)；
（2）將△ACD沿AC折疊為△ACF，將△ABD沿AB折疊為△ABG，延長FC和GB相交于點H；求證：四邊形AFHG是正方形；
（3）若BD=6，CD=4，求AD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OB、OC，由垂徑定理知E是BC的中點，而OE=BC，可判定△BOC是直角三角形，則∠BOC=90°，根據(jù)同弧所對的圓周角和圓心角的關系即可求得∠BAC的度數(shù)；
（2）由折疊的性質(zhì)可得到的條件是：①AG=AD=AF，②∠GAF=∠GAD+∠DAF=2∠BAC=90°，且∠G=∠F=90°；由②可判定四邊形AGHF是矩形，聯(lián)立①的結(jié)論可證得四邊形AGHF是正方形；
（3）設AD=x，由折疊的性質(zhì)可得：AD=AF=x（即正方形的邊長為x），BG=BD=6，CF=CD=4；進而可用x表示出BH、HC的長，即可在Rt△BHC中，由勾股定理求得AD的長．
解答：（1）解：連接OB和OC；
∵OE⊥BC，∴BE=CE；
∵OE=BC，∴∠BOC=90°，∴∠BAC=45°；（2分）

（2）證明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°；
由折疊可知，AG=AF=AD，∠AGH=∠AFH=90°，
∠BAG=∠BAD，∠CAF=∠CAD，（3分）
∴∠BAG+∠CAF=∠BAD+∠CAD=∠BAC=45°；
∴∠GAF=∠BAG+∠CAF+∠BAC=90°；
∴四邊形AFHG是正方形；（5分）

（3）解：由（2）得，∠BHC=90°，GH=HF=AD，GB=BD=6，CF=CD=4；
設AD的長為x，則BH=GH-GB=x-6，CH=HF-CF=x-4．（7分）
在Rt△BCH中，BH²+CH²=BC²，∴（x-6）²+（x-4）²=10²；
解得，x₁=12，x₂=-2（不合題意，舍去）；
∴AD=12． （8分）
點評：此題主要考查了垂徑定理、勾股定理、正方形的判定和性質(zhì)以及圖形的翻折變換等知識，能夠根據(jù)折疊的性質(zhì)得到與所求相關的相等角和相等邊是解答此題的關鍵．