Question

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，試判斷CF與GB的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：CF=GB．
理由：過(guò)F做FH⊥AB且交于點(diǎn)H，連接EH，
∵AF平分∠CAB交CD于E，∠ACB=90°，
∴CF=HF，∠CAF=∠HAF，
∴△ACF≌△AHF，
∴AC=AH，
同理：△ACE≌△AHE，
可知CE=EH，∠ACE=∠AHE，
在Rt△ACD中，∠CAD+∠ACD=90°，
在Rt△ABC中，∠CAB+∠B=90°，
又∵∠CAD與∠CAB為同一角，
∴∠ACD=∠B，
∴∠AHE=∠B，
∴EH∥BC，
∵CD⊥AB，F(xiàn)H⊥AB，
∴CD∥FH，
∴四邊形CEHF為菱形，四邊形EGBH為平行四邊形，
∴CF=EH，EH=GB，
∴CF=GB．
分析：首先過(guò)F做FH⊥AB且交于點(diǎn)H，連接EH，由Rt△ABC中，∠ACB=90°，易證得，CF=HF，△ACF≌△AHF，同理：△ACE≌△AHE，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，證得四邊形CEHF為菱形，四邊形EGBH為平行四邊形，根據(jù)菱形與平行四邊形的性質(zhì)，即可證得CF=GB．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了角平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及菱形與平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．