Question

設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則

a2+(b-1)2

+

(a-1)2+b2

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題

專題：探究型

分析：設(shè)A的坐標(biāo)是（a，b），B的坐標(biāo)是（0，1），C的坐標(biāo)是（1，0），求出A和B之間的距離是AB=

a2+(b-1)2

，A和C之間的距離是AC=

(a-1)2+b2

，求出AB+AC=

a2+(b-1)2

+

(a-1)2+b2

，即求出AB+AC的最小值，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得出AC+AB的最小值是AB+AC=BC，即最小值是BC的長(zhǎng)，求出BC即可．

解答：解：設(shè)A的坐標(biāo)是（a，b），B的坐標(biāo)是（0，1），C的坐標(biāo)是（1，0），
則由勾股定理得：A和B之間的距離是AB=

a2+(b-1)2

，
A和C之間的距離是AC=

(a-1)2+b2

，
即AB+AC=

a2+(b-1)2

+

(a-1)2+b2

，
求

a2+(b-1)2

+

(a-1)2+b2

的最小值可以看作求出AB+AC的最小值，即點(diǎn)A（a，b）到B（0，1）和C（1，0）的距離和最短的地方，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，
∵AB+AC≥BC，
∴AC+AB的最小值是AB+AC=BC，
即最小值是BC的長(zhǎng)，由勾股定理得：BC=

(0-1)2+(1-0)2

=

2

，
即

a2+(b-1)2

+

(a-1)2+b2

的最小值是

2

，
故答案為：

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了最短路線問題、勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是能把算式于問題結(jié)合起來，題目有一定的難度．