Question

12．如圖，已知拋物線y=-x²-2x+3與坐標(biāo)軸分別交于A，B，C三點(diǎn)，在拋物線上找到一點(diǎn)D，使得∠DCB=∠ACO，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$）或（-4，-5）．

Answer 1

分析 求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，當(dāng)D在x軸下方時，設(shè)直線CD與x軸交于點(diǎn)E，由于∠DCB=∠ACO．所以tan∠DCB=tan∠ACO，從而可求出E的坐標(biāo)，再求出CE的直線解析式，聯(lián)立拋物線即可求出D的坐標(biāo)，再由對稱性即可求出D在x軸上方時的坐標(biāo)．

解答 解：令y=0代入y=-x²-2x+3，
∴x=-3或x=1，
∴OA=1，OB=3，
令x=0代入y=-x²-2x+3，
∴y=3，
∴OC=3，
當(dāng)點(diǎn)D在x軸下方時，
∴設(shè)直線CD與x軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EG⊥CB于點(diǎn)G，
∵OB=OC，
∴∠CBO=45°，
∴BG=EG，OB=OC=3，
∴由勾股定理可知：BC=3$\sqrt{2}$，
設(shè)EG=x，
∴CG=3$\sqrt{2}$-x，
∵∠DCB=∠ACO．
∴tan∠DCB=tan∠ACO=$\frac{OA}{OC}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{EG}{CG}=\frac{1}{3}$，
∴x=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴BE=$\sqrt{2}$x=$\frac{3}{2}$，
∴OE=OB-BE=$\frac{3}{2}$，
∴E（-$\frac{3}{2}$，0），
設(shè)CE的解析式為y=mx+n，交拋物線于點(diǎn)D₂，
把C（0，3）和E（-$\frac{3}{2}$，0）代入y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3=n}\\{0=-\frac{3}{2}m+n}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=3}\end{array}\right.$
∴直線CE的解析式為：y=2x+3，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+3}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$
解得：x=-4或x=0，
∴D₂的坐標(biāo)為（-4，-5）
設(shè)點(diǎn)E關(guān)于BC的對稱點(diǎn)為F，
連接FB，
∴∠FBC=45°，
∴FB⊥OB，
∴FB=BE=$\frac{3}{2}$，
∴F（-3，$\frac{3}{2}$）
設(shè)CF的解析式為y=ax+b，
把C（0，3）和（-3，$\frac{3}{2}$）代入y=ax+b
$\left\{\begin{array}{l}{3=b}\\{\frac{3}{2}=-3a+b}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線CF的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x+3，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+3}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$
解得：x=0或x=-$\frac{5}{2}$
∴D₁的坐標(biāo)為（-$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$）
故答案為：（-$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$）或（-4，-5）

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)對稱性求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用直線解析式以及拋物線的解析式即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，本題屬于中等題型．