Question

已知：如圖PT是⊙O的切線，T為切點，PAB是經過圓心O的割線．
（1）求證：∠PTA=∠BTO；
（2）若PT=4，PA=2，求sinB的值．

Answer 1

分析：（1）根據切線性質和圓周角定理得出∠PTO=∠ATB，都減去∠ATO即可；
（2）求出AB，求出TM，根據勾股定理求出BT，解直角三角形求出即可．

解答：（1）證明：∵PT是⊙O的切線，
∴∠PTO=90°，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ATB=90°，
∴∠PTO-∠ATO=∠ATB-∠ATO，
∴∠PTA=∠BTO．

（2）解：過點T作TM⊥AB于點M，
∵OT=OB，
∴∠B=∠BTO，
∵由（1）知：∠PTA=∠BTO，
∴∠PTA=∠B，
∵∠P=∠P，
∴△PTA∽△PBT，
∴

PT

PA

=

PB

PT

，
∵PT=4，PA=2，
∴PB=8，
∴AB=8-2=6，OT=3，
在△PTO中，由三角形面積公式得：

1

2

PT•OT=

1

2

PO•TM，
∴4×3=（2+3）•TM，
∴TM=

12

5

=2.4，
在Rt△TMO中，由勾股定理得：OM=

32-2．42

=1.8，
即BM=3+1.8=4.8，
在Rt△TMB中，由勾股定理得：BT=

32+4．82

=

801

5

，
∴sinB=

TM

BT

=

2.4

801 5

=

801

267

．

點評：本題考查了解直角三角形，相似三角形的性質和判定，勾股定理，三角形面積，切線的性質的應用，主要考查學生的推理能力和計算能力．