Question

（2013•槐蔭區(qū)三模）如圖，拋物線y=-x²+2x+3與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸相交于點C，頂點為D，連接BC，BC與拋物線的對稱軸交于點E．
（1）求點B、點C的坐標(biāo)和拋物線的對稱軸；
（2）求直線BC的函數(shù)關(guān)系式；
（3）點P為線段BC上的一個動點，過點P作PF∥DE交拋物線于點F．設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m；用含m的代數(shù)式表示線段PF的長，并求出當(dāng)m為何值時，四邊形PEDF為平行四邊形？

Answer 1

分析：（1）對于拋物線解析式，令x=0求出y的值，確定出OC的值，得出C的坐標(biāo)，令y=0求出x的值，確定出B的坐標(biāo)，進(jìn)而得出拋物線對稱軸；
（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將B與C坐標(biāo)代入求出k與b的值，即可確定出直線BC解析式；
（3）將x=1代入拋物線解析式，求出y的值，確定出D坐標(biāo)，將x=1代入直線BC解析式求出y的值，確定出E坐標(biāo)，求出DE長，將x=m代入拋物線解析式表示出F縱坐標(biāo)，將x=m代入直線BC解析式表示出P縱坐標(biāo)，兩縱坐標(biāo)相減表示出線段PF，由DE與FP平行，要使四邊形PEDF為平行四邊形，只需DE=PF，列出關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，檢驗即可．

解答：解：（1）在y=-x²+2x+3中，當(dāng)x=0時，y=3，
∴C（0，3），
當(dāng)y=0時，-x²+2x+3=0，
解：得x₁=-1或x₂=3，
∴B（3，0），
拋物線的對稱軸是：x=-

b

2a

=1；

（2）設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b．
把B（3，0），C（0，3）分別代入得：

3k+b=0 b=3

，
解得：k=-1，b=3，
∴直線BC的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x+3；

（3）在y=-x²+2x+3中，當(dāng)x=1時，y=4，
∴D（1，4），
當(dāng)x=1時，y=-1+3=2，
∴E（1，2）．
當(dāng)x=m時，y=-m+3，
∴P（m，-m+3）．
當(dāng)x=m時，y=-m²+2m+3，
∴F（m，-m²+2m+3），
∴線段DE=4-2=2，線段PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m，
∵PF∥DE，
∴當(dāng)PF=ED時，四邊形PEDF為平行四邊形，
由-m²+3m=2，解得：m₁=2，m₂=1（不合題意，舍去）．
則當(dāng)m=2時，四邊形PEDF為平行四邊形．

點評：此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，拋物線與坐標(biāo)軸的交點，平行四邊形的判定，以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題第二問的關(guān)鍵．