如圖,A,B分別為x軸和y軸正半軸上的點(diǎn),OA,OB的長分別是方程x2-14x+48=0的兩根(OA>OB),直線BC平分∠ABO交x軸于C點(diǎn),P為BC上一動點(diǎn),P點(diǎn)以每秒1個單位的速度從B點(diǎn)開始沿BC方向移動.
(1)設(shè)△APB和△OPB的面積分別為S1,S2,求S1:S2的值;
(2)求直線BC的解析式;
(3)設(shè)PA-PO=m,P點(diǎn)的移動時間為t.
①當(dāng)0<t≤4時,試求出m的取值范圍;
②當(dāng)t>4時,你認(rèn)為m的取值范圍如何?(只要求寫出結(jié)論)

【答案】分析:(1)先求出OA和OB的長度,P是角平分線上的點(diǎn),P到OB,AB的距離相等,而兩個三角形的高相等,S1:S2=AB:OB=5:3;
(2)過C點(diǎn)作CD⊥AB交AB于點(diǎn)D.得出OD=OC,BD=OB,再設(shè)OC=a,則OD=a,AC=8-a,利用勾股定理求出a以及點(diǎn)C的坐標(biāo).設(shè)BC的解析式y(tǒng)=kx+b,把已知坐標(biāo)代入得出y=-2x+6;
(3)首先勾股定理求出BC.當(dāng)t=4時,作P1Q⊥x軸于Q,利用線段比求得CQ=1,OQ=OA,P1O=PA.當(dāng)0<t≤4時,即P處于B,P1之間時,在BA上截取BE=BO,連接PE,則△OPB≌△EPB.然后求得PA-PO<4.作PR⊥OA于R,則R處于線段OQ上,此時OR<AR.利用勾股定理求出PA,PO的值,可得m>0,綜合所述可求出0≤m<4②當(dāng)t>4時,m<0.
解答:解:(1)x2-14x+48=0,
解得x1=6,x2=8,
則OA=8,OB=6 AB=10,
P是角平分線上的點(diǎn),P到OB,AB的距離相等,
S1:S2=AB:OB=5:3;

(2)過C點(diǎn)作CD⊥AB交AB于點(diǎn)D.
∵BC平分∠ABO,
∴CD=OC,BD=OB=6,
設(shè)OC=a,則CD=a,AC=8-a,
∵AC2=CD2+AD2,
∴(8-a)2=a2+(10-6)2,
解得a=3,
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),
∴設(shè)BC的解析式為y=kx+b,得,
∴k=-2,b=6,
∴BC的解析式為y=-2x+6;

(3)①∵,

當(dāng)t=4時,設(shè)P點(diǎn)到達(dá)P1點(diǎn)的位置(如圖2),作P1Q⊥x軸于Q,則,
∵P1C=P1B-BC=4×1-3=,

∴CQ=1,
∴OQ=4=OA,
∴P1O=PA,
∴當(dāng)t=4時,PA-PO=0,即m=0.
當(dāng)0<t≤4時,即P處于B,P1之間時,
在BA上截取BE=BO,連接PE,則△OPB≌△EPB,
∴PE=PO.
在△PAE中,PA-PE<AE,而AE=4,
∴PA-PO<4,即m<4.
作PR⊥OA于R,則R處于線段OQ上,此時OR<AR,
,,
∴PA>PO,
∴PA-PO>0,即m>0.
綜上所述,當(dāng)0<t≤4時,0≤m<4;
②當(dāng)t>4時,m<0.
點(diǎn)評:本題考查的是一次函數(shù)的綜合運(yùn)用以及利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式,難度較大.
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