Question

如圖，Rt△ABC與Rt△A′B′C′不相似，∠ACB=∠A′C′B′=90°，∠ACD=∠A′
（1）請在線段A′B′找一點D′，使△A′D′C′∽△CDA，作圖，并證明．
（2）此時，以點C、點D、點B為頂點的三角形與以點C′、點D′、點B′為頂點的三角形相似嗎？若相似，請證明；若不相似，請說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖，作∠A′C′D′=∠A交A′B′于點D′，點D′即為所要找的點．
理由：∵∠A′=∠ACD，∠A′C′D′=∠A，
∴△A′D′C′∽△CDA；

（2）兩三角形相似．理由如下：
∵∠ACB=∠A′C′B′=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，∠A′+∠B′=90°，
∵∠A′=∠ACD，
∴∠DCB=∠B′，
同理可得∠B=∠D′C′B′，
∴△DCB∽△D′C′B′
分析：（1）作∠A′C′D′=∠A交A′B′于點D′，點D′即為所要找的點，由∠ACD=∠A′，根據有兩角對應相等的三角形相似，即可證得△A′D′C′∽△CDA；
（2）由∠ACB=∠A′C′B′=90°，易證得∠DCB=∠B′與∠B=∠D′C′B′，然后根據有兩角對應相等的三角形相似，證得△DCB∽△D′C′B′．
點評：此題考查了相似三角形的判定．此題難度適中，解題的關鍵是注意掌握有兩角對應相等的三角形相似定理的應用，注意數形結合思想的應用．