Question

（2007•荊州）如圖，矩形OABC的邊OC，OA分別與x軸，y軸重合，點B的坐標是（，1），點D是AB邊上一個動點（與點A不重合），沿OD將△OAD翻折，點A落在點P處．
（1）若點P在一次函數(shù)y=2x-1的圖象上，求點P的坐標；
（2）若點P在拋物線y=ax²圖象上，并滿足△PCB是等腰三角形，求該拋物線解析式；
（3）當線段OD與PC所在直線垂直時，在PC所在直線上作出一點M，使DM+BM最小，并求出這個最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)B（），可知BC=OA=OP=1，OC=．設P（x，2x-1），過P作PH⊥x軸于H．利用x分別表示出PH、OH、又OP=1，根據(jù)勾股定理即可解答；
（2）連接PB，PC．①若PB=PC，設P（x，），過P作PH⊥x軸于H．
在Rt△OPH中根據(jù)勾股定理解得x，從而確定P點坐標，進而求出解析式．
②若BP=BC，則BP=1，連接OB．在Rt△OBC中根據(jù)勾股定理求出OB，從而得出P為線段OB中點，求出P點坐標，進而求解析式．
③若CP=CB，則CP=1，PO=PC，則P在OC中垂線x=上．設P（，y）．過P作PH⊥x軸于H．在Rt△OPH中根據(jù)勾股定理求出P點坐標，從而確定解析式．
（3）根據(jù)求最小值的解法，找對稱點，構建直角三角形，利用勾股定理解答即可．
解答：解：（1）∵B（）
∴BC=OA=OP=1，OC=．
∵點P在一次函數(shù)y=2x-1的圖象上
∴設P（x，2x-1）
如圖，過P作PH⊥x軸于H
在Rt△OPH中，PH=2x-1，OH=x，OP=1
∴x²+（2x-1）²=1
解得：x₁=，x₂=0（不合題意，舍去）
∴P（，）（2分）

（2）連接PB，PC
①若PB=PC，則P在BC中垂線y=上
∴設P（x，），如圖，過P作PH⊥x軸于H
在Rt△OPH中，PH=，OH=x，OP=1
∴x²+=1
解得：x₁=，x₂=-（不合題意，舍去）
∴P（，）
∴=a×，
得a=
∴y=x²（2分）
②若BP=BC，則BP=1，連接OB
∵OP=1
∴OP+PB=2
∵在Rt△OBC中，∠OCB=90°，OB==2
∴OP+PB=OB
∴O，P，B三點共線，P為線段OB中點．
又∵B（，1）
∴P（，）
∴=a×，
解得：a=
∴y=x²
③若CP=CB，則CP=1
∵OP=1
∴PO=PC，則P在OC中垂線x=上
∴設P（，y）．
過P作PH⊥x軸于H，在Rt△OPH中，PH=|y|，OH=，OP=1
∴y²+=1
解得：y₁=，y₂=-
∴P（，）或（，-）
當點P（，-）時，∠AOP=120°，此時∠AOD=60°，點D與點B重合，符合題意．
若點P（，），則=a×，解得：a=．∴y=x²
若點P（，-），則-=a×，解得：a=-
∴y=-x²（2分）

（3）如圖，∵△OAD沿OD翻折，點A落在點P處
∴OD垂直平分AP
∵PC⊥OD
∴A，P，C三點共線．
在Rt△AOD中，∠OAD=90°，OA=1
又可得：∠AOD=30°
∴AD=AO•tan30°=，
∴D（，1）
作點B關于直線AC的對稱點B′，過點B′作B′N⊥AB于點N，連接DB′，DB′與AC交點為M，此點為所求點．
∵∠ACB′=∠ACB=60°，∠ACO=30°
∴∠B′CO=30°
∵B′C=BC=1
∴B′（，-），
∴N（，1）
在Rt△B′ND中，∠B′ND=90°，B′N=，DN=AN-AD=-=
∴DB′==
∴DM+BM的最小值為．（2分）
點評：本題考查二次函數(shù)的綜合應用，其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和軸對稱中的最小值問題，函數(shù)圖象上點的意義，等腰三角形的性質等．要熟練掌握才能靈活運用．