Question

如圖，⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點(diǎn)，BO₂切⊙O₁于點(diǎn)B，BO₂的延長(zhǎng)線交⊙O₂于點(diǎn)D，DA的延長(zhǎng)線交⊙O₁于點(diǎn)C．
（1）證明：DB⊥BC；
（2）如果AC=3AD，求∠C的度數(shù)；
（3）在（2）的情況下，若⊙O₂的半徑為6，求四邊形O₁O₂CD的面積．

Answer 1

（1）證明：連接AB，∵BC是⊙O₁的直徑，
∴BA⊥CD，
所以BD是⊙O₂的直徑．
又∵BD是⊙O₁的切線，所以DB⊥BC．

（2）解：∵AC=3AD；
∴AD=DC，
∵BD²=DA•DC=DC²，
∴BD=DC，
∴∠C=30°．

（3）解：設(shè)⊙O₁、⊙O₂的半徑分別為r₁、r₂．
∵⊙O₂的半徑為6，
∴AB=6，
∴r₁=6，
∴AC=18，
∴AD=6，
∵O₁O₂是△BCD的中位線，O₁O₂=DC=12，
AB=3，
∴S_梯形O1O2CD=（24+12）×3=54．
分析：（1）連接AB，可證得BA⊥CD，由BC是⊙O₁的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)推出DB⊥BC；
（2）由AC=3AD；得AD=DC，由切割線定理得出BD=DC，則∠C=30°；
（3）先求出⊙O₁的半徑，AB、CD的長(zhǎng)，由三角形的中位線定理求得O₁O₂的長(zhǎng)，再求四邊形O₁O₂CD的面積．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)、切割定理和三角形的中位線定理，難度較大．