Question

如圖1，⊙O₁和⊙O₂內(nèi)切于點(diǎn)P．C是⊙O₁上任一點(diǎn)（與點(diǎn)P不重合）．
實(shí)驗(yàn)操作：將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)C上，一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)O₁，另一直角邊所在直線交⊙O₂于點(diǎn)A、B，直線PA、PB分別交⊙O₁于點(diǎn)E、F，連接CE（圖2是實(shí)驗(yàn)操作備用圖）．
探究：（1）你發(fā)現(xiàn)弧CE、弧CF有什么關(guān)系？用你學(xué)過的知識(shí)證明你的發(fā)現(xiàn)；
（2）你發(fā)現(xiàn)線段CE、PE、BF有怎樣的比例關(guān)系？證明你的發(fā)現(xiàn)．
（3）附加題：如圖3，若將上述問題的⊙O₁和⊙O₂由內(nèi)切改為外切，其它條件不變，請(qǐng)你探究線段CE、PE、BF有怎樣的比例關(guān)系，并說明．

Answer 1

解：（1）設(shè)過CO₁的直徑為CG，作過點(diǎn)P的切線SP．
由題意知，AB是⊙O₁的切線，則有GC⊥AB．
∵SP是兩圓的切線，
∴由弦切角定理知，∠SPA=∠EFP=∠B．
∴EF∥AB，
∴GC⊥EF，
∴由垂徑定理知，點(diǎn)C是弧ECF的中點(diǎn)，故有弧CE=弧CF；

（2）如圖，連接CE，CF，PC．
由（1）知，弧CE=弧CF，EF∥AB，
∴∠B=∠2，∠3=∠4，CE=CF，
∴∠1=∠2．
又∵∠BCF=∠4=∠3，
∴△PEC∽△FCB，
∴PE：CF=CE：BF，即CE²=PE•FB；

（3）如圖，設(shè)CG是⊙O₁的直徑，作過點(diǎn)P的切線SH，連接CE，CF，PC．
∵∠HPE=∠PFE，∠SPA=∠B，∠SPA=∠HPE，
∴∠B=∠BFE，
∴EF∥CB，
∵CB是⊙O₁的切線，
∴CG⊥CB，
∴CG⊥EF，
∴弧CF=弧CE，有CF=CF．
∵∠B=∠HPE=∠PCE，∠CFB=∠CEP，
∴△BCF∽△PCE，
∴BF：CE=CF：PE，即CE²=PE•FB．
分析：（1）作過點(diǎn)P的切線SP，則由弦切角定理知，∠SPA=∠EFP=∠B，故有EF∥AB；由于AB是圓O₁的切線，故有GC⊥AB，所以由垂徑定理知，弧CE=弧CF；
（2）可證得△PEC∽△FCB，則PE：CF=CE：BF，即CE²=PE•FB；
（3）可證得△BCF∽△PCE，則BF：CE=CF：PE，即CE²=PE•FB．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了切線的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，弦切角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)求解．