Question

如圖，已知Rt△ABC的直角邊AC=24，斜邊AB=25，一個(gè)以點(diǎn)P為圓心、半徑為1的圓在△ABC內(nèi)部沿順時(shí)針方向滾動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)過程中⊙P一直保持與△ABC的邊相切，當(dāng)點(diǎn)P第一次回到它的初始位置時(shí)所經(jīng)過路徑的長(zhǎng)度是（ ）

A．
B．25
C．
D．56

Answer 1

【答案】分析：Rt△ABC的直角邊AC=24，斜邊AB=25，則另一直角邊為7，圓心所經(jīng)過的路徑是一個(gè)與三角形相似的三角形，設(shè)三邊分別為7a，24a，25a，則從圖中我們可以看出三個(gè)梯形面積加上小三角形面積等于大三角形面積．三個(gè)梯形的高都是圓的半徑1，所以可列方程（24a+24）÷2+（7a+7）÷2+（25a+25）÷2+7a×24a÷2=24×7÷2，解之求得a的值，從而求得所構(gòu)成的三角形的三邊，即可求出周長(zhǎng)=．
解答：解：設(shè)三邊分別為7a，24a，25a，
則：（24a+24）÷2+（7a+7）÷2+（25a+25）÷2+7a×24a÷2=24×7÷2，
解得：a=，
∴構(gòu)成的三角形的三邊分別是，16，，
∴周長(zhǎng)=+16=．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是根據(jù)三個(gè)梯形面積加上小三角形面積等于大三角形面積，設(shè)出未知數(shù)，列出方程求所構(gòu)成的三角形的三邊長(zhǎng)．