(2012•寧波模擬)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(4,0),點(diǎn)B(0,3),點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度,點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AO方向向點(diǎn)O勻速運(yùn)動(dòng),速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度,連接PQ.若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(0<t<2).
(1)求直線(xiàn)AB的解析式;
(2)設(shè)△AQP的面積為y,求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)是否存在某一時(shí)刻t,使線(xiàn)段PQ恰好把△AOB的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(4)連接PO,并把△PQO沿QO翻折,得到四邊形PQP′O,那么是否存在某一時(shí)刻t,使四邊形PQP′O為菱形?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)和菱形的邊長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)已知了A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),可用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)AB的解析式.
(2)三角形APQ中,底邊AQ的長(zhǎng)易知,關(guān)鍵是求P點(diǎn)縱坐標(biāo)的值;過(guò)P作PM⊥OA于M,通過(guò)構(gòu)建的相似三角形得出的成比例線(xiàn)段,可求出PM的長(zhǎng).進(jìn)而可根據(jù)三角形的面積公式求出y,t的函數(shù)關(guān)系式.
(3)可用分析法求解.先假設(shè)存在這樣的t值,由于此時(shí)PQ將三角形ABO的周長(zhǎng)平分,因此BP+BO+OQ=AP+AQ,據(jù)此可求出t的值,然后將t的值,代入(2)的函數(shù)關(guān)系式中,看此時(shí)三角形APQ的面積是否等于三角形AOB的面積的一半即可.
(4)如果四邊形OPQP′是菱形,那么需要滿(mǎn)足的條件是OP=PQ,那么PM垂直平分OQ,此時(shí)QM=OQ,可借助OA的長(zhǎng)來(lái)求t的值.過(guò)P作PN⊥OB于N,那么三角形BNP和三角形BOA相似,可求得PN的表達(dá)式,也就求出了QM,MO的表達(dá)式,可根據(jù)OA=OM+QM+AQ來(lái)求出此時(shí)t的值.進(jìn)而可求出菱形的邊長(zhǎng).
解答:解:(1)設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=kx+b,

解得,
∴直線(xiàn)AB的解析式是y=-x+3.

(2)在Rt△AOB中,AB==5,
依題意,得BP=t,AP=5-t,AQ=2t,
過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AO于M,
∵△APM∽△ABO,
,
,
∴PM=3-t,
∴y=AQ•PM=•2t•(3-t)=-t2+3t.

(3)不存在某一時(shí)刻t,使線(xiàn)段PQ恰好把△AOB的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分,
若PQ把△AOB周長(zhǎng)平分,則AP+AQ=BP+BO+OQ,
∴(5-t)+2t=t+3+(4-2t),
解得t=1.
若PQ把△AOB面積平分,則S△APQ=S△AOB
∴-t2+3t=3,
∵t=1代入上面方程不成立,
∴不存在某一時(shí)刻t,使線(xiàn)段PQ把△AOB的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分.

(4)存在某一時(shí)刻t,使四邊形PQP'O為菱形,
過(guò)點(diǎn)P作PN⊥BO于N,
若四邊形PQP′O是菱形,則有PQ=PO,
∵PM⊥AO于M,
∴QM=OM,
∵PN⊥BO于N,可得△PBN∽△ABO,
,
,
∴PN=t,
∴QM=OM=t,
t+t+2t=4,
∴t=,
∴當(dāng)t=時(shí),四邊形PQP′O是菱形,
∴OQ=4-2t=,
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(,0).
∵PM=3-t=,OM=t=,
在Rt△PMO中,PO===,
∴菱形PQP′O的邊長(zhǎng)為
點(diǎn)評(píng):本題考查了一次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、相似三角形的應(yīng)用、菱形的判定和性質(zhì)等知識(shí).綜合性強(qiáng),難度較大.
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3
2
3
2
,S2=
5
2
5
2
,S2012=
2012
1
2
2012
1
2

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