Question

（2004•河南）如圖，邊長(zhǎng)為3的正△ABC中，M、N分別位于AC、BC上，且AM=1，BN=2．過C、M、N三點(diǎn)的圓交△ABC的一條對(duì)稱軸于另一點(diǎn)0．求證：點(diǎn)O是正△ABC的中心．

Answer 1

【答案】分析：連接AO，由于正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，故求得AM=CN=1，由CO是正△ABC的一條對(duì)稱軸?∠ACO=∠NCO，由圓周角定理知，MO=NO，又由圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角知，∠AMO=∠CNO，可由SAS證得，△AMO≌△CNO?∠MAO=∠NCO=30°，即點(diǎn)O是正△ABC兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，所以點(diǎn)O是正△ABC的中心．
解答：證明：如圖，連接AO，（1分）
在△AMO和△CNO中，AM=CN=1，
∵CD是正△ABC的一條對(duì)稱軸，
∴∠ACO=∠NCO．
∴MO=NO．
又∠AMO=∠CNO，
∴△AMO≌△CNO．（5分）
∴∠MAO=∠NCO=30°．
∴O是正△ABC兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)．
∴點(diǎn)O是正△ABC的中心．（7分）
點(diǎn)評(píng)：本題利用了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)求解．