Question

如圖，△ABC中，AD、BE、CF三線交于一點O．

求證：··＝1．

Answer 1

答案：
解析：

證明：∵＝， 　　＝，＝． 　　∴··＝··＝1． 　　用同一方法不難證明本命題的逆命題也是成立的，即D、E、F是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點，若··＝1，則AD、BE、CF交于一點． 　　本命題及其逆命題就是著名的塞瓦定理．用它來解決某些三線共點問題，顯得十分簡捷，例如： 　　(1)若圖上三線AD、BE、CF是三條中線，顯然··＝1×1×1＝1，所以三中線必交于一點，再由＝＝1，可知S△AOB＝S△BOC，從而易證＝，同理可證，＝＝，這就是重心定理． 　　(2)若上圖中的AD、BE、CF是三條內(nèi)角平分線，則 　　··＝··＝1． 　　這說明三內(nèi)角平分線也是交于一點的． 　　(3)如圖，若AD、BE、CF是△ABC的三條高，由于Rt△AFC∽Rt△AEB，有＝．同理，＝，＝． 　　∴··＝··＝··＝1 　　說明AD、BE、CF交于一點．