Question

如圖，△ABC中，AD、BE、CF三線(xiàn)交于一點(diǎn)O．

求證：··＝1．

Answer 1

答案：
解析：

證明：∵＝， 　　＝，＝． 　　∴··＝··＝1． 　　用同一方法不難證明本命題的逆命題也是成立的，即D、E、F是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，若··＝1，則AD、BE、CF交于一點(diǎn)． 　　本命題及其逆命題就是著名的塞瓦定理．用它來(lái)解決某些三線(xiàn)共點(diǎn)問(wèn)題，顯得十分簡(jiǎn)捷，例如： 　　(1)若圖上三線(xiàn)AD、BE、CF是三條中線(xiàn)，顯然··＝1×1×1＝1，所以三中線(xiàn)必交于一點(diǎn)，再由＝＝1，可知S△AOB＝S△BOC，從而易證＝，同理可證，＝＝，這就是重心定理． 　　(2)若上圖中的AD、BE、CF是三條內(nèi)角平分線(xiàn)，則 　　··＝··＝1． 　　這說(shuō)明三內(nèi)角平分線(xiàn)也是交于一點(diǎn)的． 　　(3)如圖，若AD、BE、CF是△ABC的三條高，由于Rt△AFC∽R(shí)t△AEB，有＝．同理，＝，＝． 　　∴··＝··＝··＝1 　　說(shuō)明AD、BE、CF交于一點(diǎn)．