已知關(guān)于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0.
(1)求證:方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)若此方程的一個(gè)根是1,請(qǐng)求出方程的另一個(gè)根,并直接寫出以這兩根為直角邊的直角三角形外接圓半徑的值.
分析:(1)先計(jì)算判別式、整理得到△=(m-2)2+4,再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)△>0,然后根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論;
(2)先把x=1定義原方程可求出m=2,則方程變形為x2-4x+3=0,利用因式分解法得到x1=1,x2=3,再根據(jù)勾股定理計(jì)算出以1,3為直角邊的直角三角形的斜邊為
10
,然后根據(jù)直角三角形的斜邊為外接圓的直徑求解.
解答:(1)證明:△=(m+2)2-4(2m-1)
=(m-2)2+4,
∵(m-2)2≥0,
∴△>0,
∴方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

(2)解:把x=1代入方程得1-(m+2)+2m-1=0,解得m=2,
∴原方程變形為x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3,即方程另一根為3,
∵以1,3為直角邊的直角三角形的斜邊為
12+32
=
10
,
∴以1,3為直角邊的直角三角形的直角三角形外接圓半徑為
10
2
點(diǎn)評(píng):本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=b2-4ac:當(dāng)△>0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△=0,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△<0,方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.也考查了一元二次方程的解和直角三角形外接圓與外心.
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(1)求證:方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)若此方程的一個(gè)根是1,請(qǐng)求出方程的另一個(gè)根,并求以此兩根為邊長(zhǎng)的直角三角形的周長(zhǎng).

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已知關(guān)于x的方程x2-(3k+1)x+2k2+2k=0
(1)求證:無(wú)論k取何實(shí)數(shù)值,方程總有實(shí)數(shù)根.
(2)若等腰△ABC的一邊長(zhǎng)為a=6,另兩邊長(zhǎng)b,c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根,求此三角形的周長(zhǎng).

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