Question

已知：如圖，在直角坐標(biāo)系中，有菱形OABC，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，0），對(duì)角線OB，AC相交于D點(diǎn)，雙曲線y=

k

x

（x＞0）經(jīng)過(guò)D點(diǎn)，交BC的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，且OB•AC=160，有下列四個(gè)結(jié)論：
①菱形OABC的面積為80；②E點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，8）；③雙曲線的解析式為y=

20

x

（x＞0）；④sin∠COA=

4

5

．
其中正確的結(jié)論有（　�。﹤�(gè)．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

作DH⊥x軸于H，BG⊥x軸于G，如圖，
∵四邊形OABC為菱形，
∴菱形OABC的面積=

1

2

OB•AC=

1

2

×160=80，所以①正確；
∴

1

2

DH•OA=菱形OABC的面積的

1

4

=

1

4

×80，
而A點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，0），
∴

1

2

DH×10=

1

4

×80，
∴DH=4，
∵OB與AC互相垂直平分，
∴∠ADO=90°，DH為△OBG的中位線，
∴BG=2DH=8，
∴E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8，
∵∠DOH+∠ODH=∠ODH+∠ADH=90°，
∴∠DOH=∠ADH，
∴Rt△DOH∽Rt△ADH，
∴DH：AH=OH：DH，即DH²=OH•AH，
∵DH=4，AH=OA-OH=10-OH，
∴OH（10-OH）=16，解得OH=8或OH=2（舍去），
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（8，4），
把D（8，4）代入y=

k

x

得k=4×8=32，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

32

x

，所以③錯(cuò)誤；
把y=8代入得

32

x

=8，解得x=4，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（4，8），所以②正確；
CM⊥x軸于M，如圖，
∴CM=BG=8，
∵四邊形OABC為菱形，
∴OC=OA=10，
在Rt△OCM中，CM=8，OC=10，
∴OM=

OC2-CM2

=6，
∴sin∠COM=

CM

OC

=

8

10

=

4

5

，
即sin∠COA=

4

5

，所以④正確．
故選C．