Question

（2012•黃岡）如圖，在△ABC中，BA=BC，以AB為直徑作半圓⊙O，交AC于點D，過點D作DE⊥BC，垂足為點E．
（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）求證：BD²=AB•BE．

Answer 1

分析：（1）連接OD、BD，根據(jù)圓周角定理可得∠ADB=90°，繼而得出點D是AC中點，判斷出OD是三角形ABC的中位線，利用中位線的性質(zhì)得出∠ODE=90°，這樣可判斷出結(jié)論．
（2）根據(jù)題意可判斷△BED∽△BDC，從而可得BD²=BC•BE，將BC替換成AB即可得出結(jié)論．

解答：證明：（1）連接OD、BD，則∠ADB=90°（圓周角定理），
∵BA=BC，
∴CD=AD（三線合一），
又∵AO=OB，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥BC，
∵∠DEB=90°，
∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，
故可得DE為⊙O的切線；

（2）∵∠EBD=∠DBC，∠DEB=∠CDB，
∴△BED∽△BDC，
∴

BD

BC

=

BE

BD

，
又∵AB=BC，
∴

BD

AB

=

BE

BD

，
故BD²=AB•BE．

點評：此題考查了切線的判定及性質(zhì)、三角形的中位線的判定與性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是得出點D是AC中點，求出∠ODE是直角，有一定難度．