【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=50,AC=30,D、E、F分別是AC、AB、BC的中點(diǎn).點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿折線DE﹣EF﹣FC﹣CD以每秒7個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng);點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)Q作射線QK⊥AB,交折線BC﹣CA于點(diǎn)G.點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)P繞行一周回到點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q也隨之停止.設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(t>0).
(1)D、F兩點(diǎn)間的距離是;
(2)射線QK能否把四邊形CDEF分成面積相等的兩部分?若能,求出t的值.若不能,說(shuō)明理由;
(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到折線EF﹣FC上,且點(diǎn)P又恰好落在射線QK上時(shí),求t的值.

【答案】
(1)25
(2)解:射線QK能把四邊形CDEF分成面積相等的兩部分.

如圖,連接DF,過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB于點(diǎn)H,

∵D,F(xiàn)是AC,BC的中點(diǎn),

∴DE∥BC,EF∥AC,四邊形CDEF為矩形,

∴QK過(guò)DF的中點(diǎn)O時(shí),即過(guò)矩形CDEF的中點(diǎn),QK把矩形CDEF分為面積相等的兩部分,

此時(shí)QH=OF=12.5.

∵Rt△ABC中,∠C=90°,AB=50,AC=30,

∴BC=40,

由BF=20,△HBF∽△CBA,可得HB=16.

故t= = =7


(3)解:①當(dāng)點(diǎn)P在EF上(2 ≤t≤5)時(shí),如圖,QB=4t,DE+EP=7t,

由△PQE∽△BCA,得 = ,

=

∴t=4 ;

②當(dāng)點(diǎn)P在FC上(5≤t≤7 )時(shí),如圖,已知QB=4t,從而PB= = =5t,

由PF=7t﹣35,BF=20,可得5t=7t﹣35+20.

解得t=7

綜上所述,t的值為4 或7


【解析】解:(1)Rt△ABC中,∠C=90°,AB=50,
∵D,F(xiàn)是AC,BC的中點(diǎn),
∴DF為△ABC的中位線,
∴DF= AB=25,
即D、F兩點(diǎn)間的距離是25,
所以答案是:25.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的三角形中位線定理和相似三角形的判定與性質(zhì),需要了解連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線;三角形中位線定理:三角形的中位線平行于三角形的第三邊,且等于第三邊的一半;相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案.

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(1)請(qǐng)用樹(shù)形圖法或列表法,表示王強(qiáng)同學(xué)此次抽簽的所有可能情況.
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