Question

如圖，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，P為BC邊的中點，連接PM，PN，則下列結論：①PM=PN；② ；③△PMN為等邊三角形； ④當∠ABC=45°時，BN=PC．其中正確的是__________.

 

 

Answer 1

【答案】

①②③④.

【解析】

試題分析：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可判斷①正確；先證明△ABM∽△ACN，再根據(jù)相似三角形的對應邊成比例可判斷②正確；先根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質求出∠ABM=∠ACN=30°，再根據(jù)三角形的內角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，從而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形可判斷③正確；當∠ABC=45°時，∠BCN=45°，由P為BC邊的中點，得出BN=PB=PC，判斷④正確．

試題解析：①∵BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，P為BC邊的中點，

∴PM=BC，PN=BC，

∴PM=PN，正確；

②在△ABM與△ACN中，

∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，

∴△ABM∽△ACN，

∴ ，正確；

③∵∠A=60°，BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，

∴∠ABM=∠ACN=30°，

在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°-60°-30°×2=60°，

∵點P是BC的中點，BM⊥AC，CN⊥AB，

∴PM=PN=PB=PC，

∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，

∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，

∴∠MPN=60°，

∴△PMN是等邊三角形，正確；

④當∠ABC=45°時，∵CN⊥AB于點N，

∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，

∴BN=CN，

∵P為BC邊的中點，

∴PN⊥BC，△BPN為等腰直角三角形

∴BN=PB=PC，正確．

考點: 1.相似三角形的判定與性質；2.等邊三角形的判定；3.直角三角形斜邊上的中線.