Question

如圖(1)～(3)，已知∠AOB的平分線OM上有一點(diǎn)P，∠CPD的兩邊與射線OA、OB交于點(diǎn)C、D，連接CD交OP于點(diǎn)G，設(shè)∠AOB＝α(0°＜α＜180°)，∠CPD＝β．

(1)如圖(1)，當(dāng)α＝β＝90°時(shí)，試猜想PC與PD，∠PDC與∠AOB的數(shù)量關(guān)系(不用說(shuō)明理由)；

(2)如圖(2)，當(dāng)α＝60°，β＝120°時(shí)，(1)中的兩個(gè)猜想還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

(3)如圖(3)，當(dāng)α＋β＝180°時(shí)，①你認(rèn)為(1)中的兩個(gè)猜想是否仍然成立，若成立請(qǐng)直接寫出結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

②若＝2，求的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)PC＝PD，∠PDC＝∠AOB． 　　(2)成立．理由如下：(3分) 　　作PE⊥AO于E，PF⊥OB于F，如圖． 　　∵OP平分∠AOB， 　　∴PE＝PF． 　　在四邊形EOFP中， 　　∵∠AOB＝60°，∠PEO＝∠PFO＝90°， 　　∴∠EPF＝120°，即∠EPC＋∠CPF＝120°． 　　又∠CPD＝120°，即∠DPF＋∠CPF＝120°． 　　∴∠EPC＝∠DPF． 　　∴△EPC≌△FPD． 　　∴PC＝PD．(7分) 　　∴∠PDC＝＝30°． 　　∵∠AOB＝60°， 　　∴∠PDC＝∠AOB．(8分) 　　(3)①成立． 　�、凇摺�PDC＝∠AOB， 　　∠POD＝∠AOB， 　　∴∠PDC＝∠POD． 　　又∠DPG＝∠DPO， 　　∴△PGD∽△PDO． 　　∴＝． 　　又＝2， 　　∴＝．(12分)